урок алгебры 11 класс на сайт школы

«ПОВТОРЕНИЕ. РЕШЕНИЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ».
Проект урока алгебры в 11 классе
Учитель Богдашкина В.А.
С. Троицкое, 2014 год
-Создания условий для осознанного усвоения
решения тригонометрических уравнений.
-Формирование навыков самоконтроля и
взаимоконтроля.
-Развитие устной математической речи.
Обеспечение условий для развития умения
решать тригонометрические уравнения,
совершенствовать мыслительные умения
старшеклассников: сравнивать, обобщать и
анализировать
ЦЕЛИ УРОКА:
Устный счет
у
П/2
П
0 рад
0
3п/2
х
- П/2
Sin x = 1
cos x = 0
sin x = - 1
tg x = 0
cos x = 1
ctg x =0
sin x = ½
cos x =√3/2
sin x = - √3/2
cos x = -1/2
СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Уравнения , приводимые
уравнениям
 Однородные уравнения
 Разложение на множители
 Замена переменной
 Метод вспомогательного угла
 Понижение степеней

к
квадратным
Определите вид уравнения и укажите способ его
решения:
а) sin x = 2 cos x;
б) sin x + cos x = 0;
в) 4 cos 3x + 5 sin 3x = 0;
г) 1 +7 cos²x + 3 sin²x = 0;
д) sin 3x – cos 3x = 0;
е) sin x cos x + cos²x = 0
ОДНОРОДНЫЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
УРАВНЕНИЯ
a sin x + b cos x = 0, где a ≠ 0, b≠ 0.
При делении уравнения a sin x + b cos x = 0, где a ≠ 0, b≠ 0 на
cos x ≠ 0 корни этого уравнения не теряются.
аsin²x+ bsinx cosx + ccos²x= 0 где а ≠ 0, b ≠ 0, с ≠0.
если в этом уравнении есть одночлен аsin²x, то делим
уравнение на cos²x ≠ 0 (так как sinх и cosх одновременно не
могут равняться 0).
b sin x cos x + c cos²x = 0 , где b ≠ 0, с ≠0.
(т.е. в уравнении нет одночлена a sin²x), то уравнение решается
путем разложения на множители.
ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
3sin²x+sinx cos x=2cos²x
Делим на sin²x обе части уравнения
3+cosx/ sinx=2cos²x/sin²x
Известно ,что ctg x= cos x/sin x
Получим 3+ctgx=2ctg²x
Пусть a=ctg x
3+a=2a²
2a²-a-3=0
a1=1,5 a2=-1
Получим ctg x=1,5 ctg x=-1
X=arcctg1,5+Пn x=3П/4+Пm
РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ
sin²x - cos²x = cos4x
РЕШЕНИЕ.
sin²x-cos²x =cos4x ,
- (cos² - sin²x )=cos4x ,
-cos2x = cos²2x - sin²2x,
-cos2x = cos²2x – ( 1 - cos²2x),
-cos2x - cos²2x +1 - cos²2x = 0,
-2cos²2x – cos2x +1 = 0,
2cos²2x + cos2x -1 = 0.
Заменим сos2x на У , где |У|1
Тогда 2 у² +у -1 = 0,
D =1 - 4•2•(-1) =9,
У =1/ 2, у = -1.
Выполним обратную замену
Cos2x =1/ 2 ,
2x =±arccos1/2 =2Пn , n € Z,
2x ±П/3 +2Пn. n € Z,
X =±П/6+Пn, n € Z.
cos2x = -1,
2x = П+2Пn, n € Z,
x=П/2+Пn, n € Z.
Ответ: X =±П/6+Пn, x=П/2+Пn, n € Z.
Решение простейших уравнений
Решим уравнение




sin  x    cos x    0
6
6


Уравнение однородное,
так как степени слагаемых,
содержащих переменные одинаковые
(1;0)
РЕШЕНИЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ ВИДА
a sin x  b cos x  c
РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ
4 sin x  3 cos x  5.
Проверьте себя:
4 sin x  3 cos x  5.
Здесь a  4, b  3, c  5, a 2  b2  5
Поделим обе части уравнения на 5:
4
3
sin x  cos x  1.
5
5
4

Введем вспомогательный аргумент
, такой, что cos  
Исходное уравнение можно записать в виде
5
, sin  
3
.
5
sin x cos   cos x sin  , 1
sin( x   ) , 1

4

4
откуда x     2n, где   arccos , x   arccos  2n, n  Z
2
5
2
5
Ответ: x 

4
 arccos  2n, n  .
2
5
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ
2(1+tgx) - 3
=5
1+tgx
Пусть y=1+tgx
2y - 3 =5
Y
2y²-3=5y
y≠0
2y²-5y-3=0
y1=3 , y2=-0,5
1+tgx=3
1+tgx=-0,5
tgx=2
tgx=-1,5
X 1=arctg2+Пn
x 2=-arctg1,5+Пk
РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ
4sin²x-sin2x=0
4sin²x-2sinx cosx=0
2sinx(2sinx-cosx)=0
Sinx=0 или 2sinx-cosx=0
x1=Пn
2sinx - cosx=0
sinx
sinx
2-ctgx=0
ctgx=2
X2=arcctg2+Пk
МЕТОД ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО
УГЛА
Cos3x+sin3x=1
√A²+B²=√1²+1²=√2
Делим обе части уравнения на √2
1 cos3x+1 sin3x=1
√2
√2
√2
Пусть cosφ=1/√2 , sinφ=1/√2,φ=П/4
cosφ cos3x+sinφ sin3x=1/√2
Cos(3x-φ)=1/√2
3x-φ=±П/4+2Пn
3x=±П/4+φ+2Пn,
X=±П/12+П/12+2Пn/3
ПОНИЖЕНИЕ СТЕПЕНЕЙ
4
4
Sin x+cos x=1/2
(Sin²x)²+(cos²x)²=1/2
Известно, что sin²(x/2)=1-cosx,
2
=1+cosx
2
1-cos2x ²+ 1+cos 2x ²
2
2
cos²(x/2)=
= 1
2
1-2cos2x+cos²2x+1+2cos2x+cos²2x=2
2cos²x=0
cosx=0
X=П/2+Пn
Спасибо за
работу!!!
