Интегрирование рациональных дробей

Интегрирование рациональных
дробей.
Шульц Денис Сергеевич
План занятия.
 Правильная/неправильная рациональная дробь
 Простейшие рациональные дроби
 Разложение дроби на простые множители
 Нахождение интегралов от рациональных дробей
Рациональная дробь.
𝑃𝑛 (𝑥)
𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
𝑅 𝑥 =
=
𝑄𝑚 (𝑥) 𝑏𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑏𝑚−1 𝑥 𝑚−1 + ⋯ 𝑏2 𝑥 2 + 𝑏1 𝑥 + 𝑎0
Рациональная дробь – отношение двух полиномов (многочленов) P(x) и Q(x)
Если старшая степень полинома (многочлена) в числителе строго меньше
старшей степени полинома в знаменателе, т.е. n < m, то дробь правильная
Если n ≥ 𝑚, дробь неправильная
Правильная/неправильная
дробь.
𝑥 2 − 9𝑥 + 14
𝑥 − 1 𝑥 2 − 6𝑥 + 8
неправильная или правильная - ?
Правильная/неправильная
дробь.
𝑥 2 − 9𝑥 + 14
𝑥 − 1 𝑥 2 − 6𝑥 + 8
старшая степень числителя = 2
старшая степень знаменателя = 3
⟹
2<3
⟹
правильная
Правильная/неправильная
дробь.
𝑥 2 − 9𝑥 + 14
𝑥 − 1 𝑥 2 − 6𝑥 + 8
старшая степень числителя = 2
старшая степень знаменателя = 3
𝑥5 + 𝑥4 − 8
𝑥 3 − 4𝑥
⟹
2<3
⟹
правильная
Правильная/неправильная
дробь.
𝑥 2 − 9𝑥 + 14
𝑥 − 1 𝑥 2 − 6𝑥 + 8
старшая степень числителя = 2
⟹
2<3
⟹
старшая степень знаменателя = 3
𝑥5 + 𝑥4 − 8
𝑥 3 − 4𝑥
5>3
⟹
неправильная
правильная
Неправильная рациональная
дробь.
НЕПРАВИЛЬНАЯ ДРОБЬ = целая часть + правильная дробь
𝑃(𝑥)
𝑆(𝑥)
=𝑅 𝑥 +
𝑄(𝑥)
𝑄(𝑥)
R(x) – частное; S(x) – остаток
𝑥5 + 𝑥4 − 8
𝑥 3 − 4𝑥
разложим данную неправильную дробь
Неправильная рациональная
дробь.
НЕПРАВИЛЬНАЯ ДРОБЬ = целая часть + правильная дробь
𝑃(𝑥)
𝑆(𝑥)
=𝑅 𝑥 +
𝑄(𝑥)
𝑄(𝑥)
R(x) – частное; S(x) – остаток
2 + 16𝑥 − 8
𝑥5 + 𝑥4 − 8
4𝑥
2+𝑥+4 +
=
𝑥
𝑥 3 − 4𝑥
𝑥 3 − 4𝑥
Алгоритм интегрирования
правильной рациональной дроби.
1. Знаменатель дроби разложить на простые множители
2. Рациональную дробь представить в виде суммы простейших дробей
3. Найти неопределенные коэффициенты (метод неопределенных
коэффициентов)
4. Проинтегрировать каждое слагаемое
Простейшие рациональные дроби.
1
𝑥−𝑎
1
𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞
𝑀𝑥 + 𝑁
𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞
1
𝑥−𝑎
𝑛
1
𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞
𝑀𝑥 + 𝑁
𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞
1
𝑥 2 + 𝑎2
𝑛
𝑛
1
𝑥 2 + 𝑎2
𝑛
Простейшие рациональные дроби.
1
𝑥−𝑎
1
𝑥−𝑎
𝑛
1
𝑥 2 + 𝑎2
1
𝑥 2 + 𝑎2
𝑛
Интегралы от этих дробей – табличные интегралы
1
𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞
𝑀𝑥 + 𝑁
𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞
1
𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞
𝑀𝑥 + 𝑁
𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞
𝑛
𝑛
выделение полного квадрата
выделяется в числителе
дифференциал выражения
знаменателя
Разложение дроби
(на примерах)
𝑥 2 − 9𝑥 + 14
𝑥 2 − 9𝑥 + 14
𝐴
𝐵
𝐶
=
=
+
+
𝑥 − 1 𝑥 2 − 6𝑥 + 8
𝑥−1 𝑥−2 𝑥−4
𝑥−1 𝑥−2 𝑥−4
4𝑥 2 + 16𝑥 − 8 4𝑥 2 + 16𝑥 − 8
4𝑥 2 + 16𝑥 − 8
𝐴
𝐵
𝐶
=
=
= +
+
𝑥 3 − 4𝑥
𝑥 𝑥2 − 4
𝑥 𝑥−2 𝑥+2
𝑥 𝑥−2 𝑥+2
Разложение дроби
(на примерах)
𝑥 2 − 9𝑥 + 14
𝑥 2 − 9𝑥 + 14
𝐴
𝐵
𝐶
=
=
+
+
𝑥 − 1 𝑥 2 − 6𝑥 + 8
𝑥−1 𝑥−2 𝑥−4
𝑥−1 𝑥−2 𝑥−4
4𝑥 2 + 16𝑥 − 8 4𝑥 2 + 16𝑥 − 8
4𝑥 2 + 16𝑥 − 8
𝐴
𝐵
𝐶
=
=
= +
+
𝑥 3 − 4𝑥
𝑥 𝑥2 − 4
𝑥 𝑥−2 𝑥+2
𝑥 𝑥−2 𝑥+2
все множители разные.
А если будут другого вида?
Разложение дроби
(на примерах)
1
𝑥−1
2
𝑥−2
2
𝐴
=
𝑥−1
𝐵
𝐶
+
+
2
𝑥−1
𝑥−2
1
𝐴
𝐵𝑥 + 𝐶
=
+ 2
2
𝑥−1 𝑥 +𝑥+1
𝑥−1 𝑥 +𝑥+1
𝐷
+
2
𝑥−2
Разложение дроби
(на примерах)
1
𝑥−1
2
𝑥−2
2
𝐴
=
𝑥−1
𝐵
𝐶
+
+
2
𝑥−1
𝑥−2
𝐷
+
2
𝑥−2
1
𝐴
𝐵𝑥 + 𝐶
=
+ 2
2
𝑥−1 𝑥 +𝑥+1
𝑥−1 𝑥 +𝑥+1
полином не содержит
действительных корней
в этом случае разложение
записывается таким образом
Пример
𝑥 2 − 9𝑥 + 14
𝑑𝑥
2
2
𝑥 +𝑥 𝑥 +1
Вебинары «Интегральное исчисление». Апрель 2014 г.
Вебинар №6: интегрирование простейших иррациональностей и
выражений, содержащих тригонометрические функции
Вебинар №7: сложные интегралы
Спасибо за внимание!!!
Шульц Денис Сергеевич
Кафедра прикладной математики и
информатики
Факультет дистанционного обучения
Томский государственный университет
систем управления и радиоэлектроники
sds@pmii.tusur.ru
sds@2i.tusur.ru