А ЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПРОДУКЦИОННЫХ СИСТЕМ А.В.Жожикашвили

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
ПРОДУКЦИОННЫХ СИСТЕМ
А.В.Жожикашвили
ИППИ РАН
ПРОДУКЦИИ В ИСКУССТВЕННОМ
ИНТЕЛЛЕКТЕ
Продуция = <Условия применимости> + <Действия>
Для каждого правила имеется предварительное условие. Если
предварительное условие выполняется, то правило может быть
применено. Применение правила изменяет базу данных.
Н. Нильсон
В состав каждого правила входит некоторое условие. Правило
может быть применено, если условие выполнено. Применение
правила изменяет состояние рабочей памяти.
Г. С. Осипов
Продукцию можно представлять себе состоящей из двух частей:
условия применимости и указания на то, как следует
преобразовать текущую ситуацию.
В. Л. Стефанюк
Продукционная модель или модель, основанная на правилах,
позволяет представить знания в виде предложений типа «Если
(условие) то (действие)»
Т.А. Гаврилова,
В.Ф. Хорошевский
ПРОДУКЦИИ В ИСКУССТВЕННОМ
ИНТЕЛЛЕКТЕ
В общем виде под продукцией понимается выражение вида:
(i); Q; Р; А=>В; N.
Здесь i — имя продукции…
Элемент Q характеризует сферу применения продукции…
Основным элементом продукции является ее ядро: А=>В.
А описывает некоторое условие, необходимое для того, чтобы
можно было совершить действие В.
Варианты:
ЕСЛИ A, ТО В9670
ЕСЛИ A, ТО В1 ИНАЧЕ В2
Элемент Р есть условие применимости ядра продукции…
Элемент N описывает постусловия продукции… Они описывают
действия и процедуры, которые необходимо выполнить после
реализации В.
Д.А.Поспелов
ЕЩЕ ПРОДУКЦИИ
Продукция Э.Поста и А.А.Маркова:
ab → ba
Продукции Н.Хомского:
S → NP Aux VP
VP → Verb NP
Правило языка Пролог:
sibling(A,B) :-father(X,A),father(X,B)
СУТЬ ПОНЯТИЯ ПРОДУКЦИИ



Продукция состоит из описания двух ситуаций.
Левая часть продукции – описание ситуации, в
которой продукция применима
Правая часть продукции – описание ситуации,
которая возникает поле ее применения
ОБРАЗЕЦ
СОПОСТАВЛЕНИЕ
КОНКРЕТИЗАЦИЯ




Образец – обобщенное описание ситуации, в
котором некоторые детали опущены.
Конкретизация образца – добавление этих
деталей к описанию. В результате получаем
полное описание, т.е. ситуацию.
Сопоставление ситуации с образцом –
проверка, может ли образец быть
конкретизирован так, чтобы из него
получилась данная ситуация.
Конкретизатор – детали, добавленные к
образцу в процессе конкретизации .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОДУКЦИИ –
СЛЕДУЮЩИЙ ШАГ



Продукция представляет собой пару образцов
(левая и правая часть продукции).
Продукция применима к ситуации, если эта
ситуация сопоставима с левой частью этой
продукции.
Результат применения продукции – ситуация,
являющаяся результатом конкретизации
правой части продукции, причем правая часть
должна быть конкретизирована таким же
образом, каким была конкретизирована левая
часть в процессе сопоставления с ситуацией.
ОБРАЗЕЦ И ПРОДУКЦИЯ
НА ЯЗЫКЕ МНОЖЕСТВ И ОТОБРАЖЕНИЙ
S-образец
Продукция из S в T
Множество ситуаций S
T
t
s
s
s=ϕ(x)
φ
S
x
Множество
конкретизаторов X
ψ
φ
t=ψ(x)
x
X
МОЖЕТ БЫТЬ МНОГО РАЗНЫХ МНОЖЕСТВ
СИТУАЦИЙ/КОНКРЕТИЗАТОРОВ
ϕ
ψ
S → NP Aux VP
VP → Verb NP
ОТ СИСТЕМЫ ОБРАЗЦОВ –
К ТЕОРИИ КАТЕГОРИЙ
Задать систему образцов – это значит определить следующее:
1.
какие множества могут выступать в качестве множеств
ситуаций/конкретизаторов
2.
какие отображения могут выступать в качестве образцов
Класс образцов замкнут относительно композиции и содержит
тождественные отображения.
Задать систему образцов – это значит


задать подкатегорию C категории множеств
для каждой пары объектов X и Y категории C определить
множество Cs  X ,Y   C X ,Y  - множество ситуаций.




Потребуем выполнение условия ситуационной замкнутости:
C I , X , C X ,Y , C  I ,Y   C  I , X 
S
S
ТЕОРЕТИКО-КАТЕГОРНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
S-образец
Сопоставление ситуации с образцом
S
S
α
ϕ
X
β
I
S
T
ψ
ϕ
X
X
Применение продукции к ситуации
Продукция из S в T
S
ϕ
α
I
T
ψ
ϕ
β
α→ψβ
X
ЭКСТЕНСИОНАЛЬНОЕ VS ИНТЕНСИОНАЛЬНОЕ
S-образец ϕ:X
S является частным
случаем S-образца ψ:Y
S
Экстенсиональное
определение
Всякая ситуация,
сопоставимая с
образцом ϕ,
сопоставима также с
образцом ψ
Итенсиональное
определение
Существует морфизм
 :X
Y такой,
что диаграмма
S
ψ
ϕ
X

коммутативна
Y
ЭКСТЕНСИОНАЛЬНОЕ VS ИНТЕНСИОНАЛЬНОЕ
Продукция S
ϕ
X
σ
T является
ψ
частным случаем продукции S
Экстенсиональное
Если продукция (ϕ,σ)
преобразует
ситуацию α в
ситуацию β, то и
продукция (ψ,τ)
преобразует α в β
τ
Y
T
Итенсиональное
Существует морфизм
 :X
Y такой,
что диаграмма
ϕ
X
σ

S
ψ
T
τ
Y
коммутативна
ЭКСТЕНСИОНАЛЬНОЕ VS ИНТЕНСИОНАЛЬНОЕ
Композиция продукций
Экстенсиональное
Композиция двух
продукций
преобразует
ситуацию α в
ситуацию β, если
существует ситуация
δ такая, что первая
продукция
преобразует α в δ, а
вторая преобрзует δ
в β.
Итенсиональное
Композиция продукций

 S
S φ
 X σ
 S и S 
 Y 
это продукция
σ S , где
S φ
 X  
Z 

 Y
 
X 

 S
- декартов квадрат
ПОРЯДОК НА МНОЖЕСТВЕ ОБРАЗЦОВ
S – объект категории C. C/S – множество S–
образцов.
Пусть φ, ψ ∈ 𝐂/𝑆 т.е. φ: 𝑋 → 𝑆, ψ: 𝑌 → 𝑆
φ ≤ ψ если для некоторого χ: 𝑋 → 𝑌 диаграмма
S
ψ
ϕ
X
χ
Y
коммутативна.
Это предпорядок.
C / S – фактормножество C / S по отношению
~     &   
НАИМЕНЬШЕЕ ОБОБЩЕНИЕ

σ:Z→S - наименьшее обобщение ϕ:X→S и ψ:Y→S:
S
ϕ
σ
λ
X
Z
ψ
μ
Z'
S
ϕ
X
σ'
λ'
Z'
Y
ψ
μ'
τ
λ'
Y
X
Z'
λ
μ'
Z
Y
τ
μ
Z
НАИМЕНЬШЕЕ ОБОБЩЕНИЕ

σ:Z→S - наименьшее обобщение ϕ:X→S и ψ:Y→S:
S
ϕ
σ
λ
X
Z
ψ
μ
Y
S
S
ϕ
X
σ'
λ'
Z'
ψ
μ'
σ'
σ
Y
Z
τ
Z'
НАИБОЛЬШИЙ ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ
σ:Z→S – наибольший частный случай ϕ:X→S и ψ:Y→S:
S
ψ
ϕ
Y
σ
X
λ
μ
Z
S
S
ψ
ϕ
σ'
σ
Y
σ'
X
λ'
μ'
Z'
Z
τ
Z'
ПОЧЕМУ КАТЕГОРИИ
Частично упорядоченное
множество
Категория
РЕКУРСИВНО ОРГАНИЗОВАННЫЕ
СИСТЕМЫ ОБРАЗЦОВ
Образец – конструкция, построенная по
определеным правилам
 Образец может содержать переменные, на
место которых могут быть подставлены другие
образцы
 Ситуация – образец, не содержащий
переменных
 Конкретизация образца – подстановка
ситуаций вместо переменных

Ω-КАТЕГОРИЯ
(F,η,μ) - монада в категории Set,
X – счетное множество (переменных),
U   SetU , FX  (U – конечное подмножество X).
Для :V  FU определим φ:U   V  :
φα  μ Fα  φ для любого U 
X
Категория F, X :
 объекты – множества вида U  ,



 морфизмы – отображения вида φ .
ПРИМЕРЫ Ω-КАТЕГОРИЙ
Одна бинарная операция – умножение
 Одно тождество:

x(yz)=(xy)z (ассоциативность)

Образец: AxB
 Конкретизация: x→CD, AxB →ACDB

S → NP Aux VP
VP → Verb NP
ПРИМЕРЫ Ω-КАТЕГОРИЙ
Одна бинарная операция – умножение
 Тождества:

x(yz)=(xy)z (ассоциативность)

xy=yx
(коммутативность)

x2=x
(идемпотентность)

Образец: {A,B,x}
 Конкретизация: x→{C,D}, {A,B,x} →{A,B,C,D}

ПРИМЕРЫ Ω-КАТЕГОРИЙ
Произвольный набор операций – f,g,h,…
 Тождеств нет

Образец: f(A,g(x),B)
 Конкретизация:

x→h(C,D),

f(A,g(x),B)→ f(A,g(h(C,D)),B)

ПРОДУКЦИОННАЯ СЕТЬ

Продукционная база из S в T: (S,T,P)
S,T – объекты,
 P – множество продукций из S в T.


Продукция: (ϕ,ψ,P)
ϕ :X→S, ψ:Y→T – морфизмы,
 P – продукционная база из X в Y

S
T
S → NP Aux VP
ψ
ϕ
X
VP → Verb NP
Y
P
РАЗЛОЖЕНИЕ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ
n-арный образец: морфизм ϕ:X1xX2x…xXn→S
 Продукция: (ϕ,ψ,(P1,P2,…Pn))

ϕ:X1xX2x…xXn→S, ψ :Y1xY2x…xYn→S - n-арные образцы,
 Pi - продукционная база из Xi в Yi

ϕ
x
ψ
x
СЛУЧАЙ Ω-КАТЕГОРИЙ
Если U   x , x ,..., xn , то
 1 2

(U )   x1 x2 ...xn 
φ:U   V 


 

 

 


 

 

 
: x  x ...  xn    V 
1
2
xi  P
i
ПРОГРАММИРОВАНИЕ НА ОСНОВЕ
КАТЕГОРНЫХ КОНЦЕПЦИЙ
Уровень
Что содержит
Кто
разрабатывает
Уровень
вывода
Содержит реализацию машины
вывода
Специалист по
продукционным
системам
Интерфейс Описание действия продукции в
терминах
ситуаций, образцов и
сопоставления.
Разработчик
системы
программирования
Уровень
данных
Специалистом в
предметной
области, для
которой
адаптируется
система
Алгоритмы сопоставления и
конкретизации, адекватно
отражающей характер данных, с
которыми работает система.
ВЫВОДЫ
Построенная математическая теория
продукционных систем позволяет :
 определять математические понятия,
описывающие объекты и действия над ними и
изучать их свойства;
 строить алгоритмы функционирования
продукционой системы;
 изучать продукционные системы специального
вида с дополнительными свойствами;
 развивать системы поддержки
программирования продукционных систем
- все это в форме, не зависящей от данных, с
которыми работает система.
Спасибо за внимание