В = 0

Алгебра логики.
Логика
Логика – это наука о формах и способах
мышления.
Основные формы мышления –
 понятие,
 высказывание,
 умозаключение.
Алгебра логики
Алгебра логики появилась в середине XIX
века в трудах английского математика
Джорджа Буля. Он начал решать
логические задачи алгебраическими
методами.
Алгебра логики — это математический
аппарат, с помощью которого
записывают, вычисляют, упрощают и
преобразовывают логические
высказывания.
Логические высказывания
 Логическое высказывание –
это любое повествовательное
предложение, в отношении
которого можно однозначно
сказать, истинно оно или
ложно.
Логические высказывания
Истинным будет высказывание, в
котором связь понятий правильно
отражает свойства и отношения
реальных вещей.
 Ложным будет высказывание, если оно
противоречит реальной
действительности.
Например:
«3х3 = 9» - истинное высказывание.
«Борак Обама– студент КБК 6» - ложное.

Логические высказывания
Не всякое предложение является
логическим высказыванием.
-Пример: 6- четное число
следует считать высказыванием, т.к.
оно истинное
-Пример: Рим – столица Франции
Тоже высказывание, только ложное.
Логические высказывания
-Пример: Заходите завтра
не является логическим
высказыванием
Приведите примеры истинных,
ложных логических
высказываний и примеры, не
являющиеся логическими
высказываниями
Простые и составные
высказывания
Логические высказывания делятся
на простые (элементарные) и
составные.
Составные высказывания
получаются из простых с помощью
логических связок «и», «или»,
«не», «если, то», «тогда и только
тогда» и др.
Простые и составные
высказывания
Пример: «Петров - врач» , «Петров
- шахматист».
При помощи связки «и» получаем
составное высказывание
«Петров – врач и шахматист»
При помощи связки «не»
получаем составное
высказывание «Петров – не
врач»
Логические переменные
 В алгебре логики суждениям
(простым высказываниям)
ставятся в соответствие
логические переменные,
обозначаемые прописными
буквами латинского алфавита.
Логические переменные
Пример:
А=«Петров - врач»
В= «Петров - пожарный».
Тогда
С= А или В
С=«Петров – врач или пожарный»
D= А и не В
D=«Петров – врач и не пожарный»
Логические переменные
Логические переменные могут
принимать только два значения 1
и 0.
Если высказывание, определяющее
логическую переменную –
истинно, то переменная равна 1,
если ложно, то 0.
Логические переменные
А = «Два умножить на два равно
четырем».
В = «Два умножить на два равно
пяти».
В нашем случае первое
высказывание истинно (А = 1), а
второе ложно (В = 0).
Логические операции
В алгебре логики над
высказываниями можно
производить определенные
логические операции и
записывать логические
формулы, в результате
которых получаются новые,
составные высказывания.
Операция конъюнкции
Логическая связка И
Обозначение &, ^, •
F =A ^ B
В языках программирования and;
Название: Логическое умножение.
Значение функции F истинно тогда и только тогда,
когда истинны и А и В.
Операция конъюнкции
Таблица истинности для операции логического
умножения
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
F=A^B
0
0
0
1
Операция дизъюнкции
Логическая связка ИЛИ
Обозначение v
F =A v B
В языках программирования or;
Название: Логическое сложение.
Значение функции F ложно тогда и только тогда,
когда ложны и А и В.
Операция дизъюнкции
Таблица истинности для операции логического
сложения
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
F=AvB
0
1
1
1
Операция инверсии
Логическая связка НЕ
Обозначение
F =A
Название: Логическое отрицание.
Значение функции F ложно, когда А истинно, и
истинно, когда А ложно.
Операция инверсии
Таблица истинности для операции логического
отрицания
A
0
1
F=A
1
0
Операция импликации
Логическая связка ЕСЛИ, ТО
Обозначение 
F =A  B
Название: Логическое следование.
Значение функции F ложно тогда и только тогда,
когда А – истинно, а В - ложно.
Операция импликации
Таблица истинности для операции логического
следования
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
F=AB
1
1
0
1
Операция эквивалентность
Логическая связка ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА,
КОГДА
Обозначение 
F =A  B
Название: Логическое тождество.
Значение функции F истинно тогда и только тогда,
когда ложны А и В оба истинны или А и В оба
ложны.
Операция
ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
Таблица истинности
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
F=AB
1
0
0
1
Таблица истинности
Решать логические формулы удобно
при помощи таблицы истинности.
Таблица истинности логической
формулы выражает соответствие
между всевозможными наборами
значений переменных и значениями
формулы.
Таблица истинности
Алгоритм построения таблицы
истинности
1. Количество строк в таблице = 2N,
где N – количество переменных.
2. Количество столбцов =
количество переменных +
количество логических операций.
Таблица истинности
Алгоритм построения таблицы истинности
3. Установить последовательность
выполнения логических операций.
4.Построить таблицу, указывая
названия столбцов и возможные
наборы значений исходных
логических переменных.
5. Заполнить таблицу 1 и 0.
Порядок выполнения
логических операций
Порядок выполнения логических
операций задается круглыми скобками.
Но для уменьшения числа скобок
договорились о приоритетах.
1. отрицание
2. умножение
3. сложение
4. следование
Пример
построить таблицу истинности для
выражения F=X ^ Y
X
0
0
1
1
Y
0
1
0
1
Y
1
0
1
0
F=X ^ Y
0
0
1
0
Пример
построить таблицу истинности для
выражения F=
^
x
y
xvy
Пример
построить таблицу истинности для
выражения F=
^
x
y
z
^
^z
Пример
построить таблицу истинности для
выражения F  A  B  C
A
B
С
AvB
A B
C
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
A B  C
1
1
1
0
1
0
1
0
Пример
построить таблицу истинности для
выражения F=
^
x
y
z
^
^z
Самостоятельно
построить таблицы истинности для
выражений
F  A B
F  A D
F  A BC
F  A DC
A
B
неА
неВ
3*4
не5
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
A
D
Не А
2+3
Не 4
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
A
B
C
Не B
4*3
Не 5
1*6
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
A
D
C
Не A Не D
4+5
Не 6
7+3
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1