Домашнее задание по теме «Таблицы истинности». Уровень 2

Домашнее задание по теме «Таблицы истинности». Уровень 2
Задание №1. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от
трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:
X
1
0
0
Y
0
1
0
Z
0
0
1
F
0
1
0
Какое выражение соответствует F?
1) (0 ∧ Y) ∧ (X ≡ Z)
2) (1 ∧ Y) ∧ (X ≡ Z)
3) (0 ∨ ¬Z) ∧ (X ≡ Y)
4) (¬1 ∧ Y) ∧ (X ≡ Z)
Пояснение.
1. Заметим, что первый вариант дает в результате 0 во всех случаях, так как конъюнкция
ложна, если ложен хотя бы один из её аргументов, а это не соответствует значениям F.
2. Выражение в варианте 2, как и в варианте 4, принимает ложные значения, если X не
эквивалентно Z, а значит, по первой и третьей строчке и 2, и 4 вариант удовлетворяют F.
3. Остается сравнить их по второй строке, в которой F – истинно. В этой строке X=0, Y=1,
Z=0, значит, выражение в варианте 2 здесь истинно.
4. Так как значения F и значения функции в варианте 2 сошлись по всем трем строкам,
вариант 2 является ответом к данной задаче.
Задание № 2. При помощи таблицы истинности определить, сколько различных решений
имеет уравнение
((K  L) → (L  M  N)) = 0
где K, L, M, N – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы
значений K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа Вам нужно
указать количество таких наборов.
Решение (вариант 2, через таблицы истинности):
1) построим таблицу для логического выражения X = ((K + L) → (L · M · N))
и подсчитаем, сколько в ней нулей, это и будет ответ
2) наше выражение зависит от четырех переменных, поэтому в таблице будет 24 = 16
строчек (16 возможных комбинация четырех логических значений)
3) подставляем различные комбинации в формулу для X; несмотря на большое
количество вариантов, таблица строится легко: достаточно вспомнить, что выражение K
+ L ложно только при K = L = 0, а выражение L·M·N истинно только при L = M = N = 1.
K
L
M
N
K+L
L·M·N
X
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
4) в последнем столбце 10 нулей; это значит, что есть 10 разных комбинаций, при которых
выражение X равно нулю, то есть исходное уравнение имеет 10 решений.