Математическое ожидание случайной величины и его свойства Определение Пусть 𝑥 – дискретная случайная величина, принимающая значения 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛 , … с вероятностью 𝑝1 , 𝑝2 , 𝑝3 , … , 𝑝𝑛 , … соответственно. Математическим ожиданием или средним значением случайной величины 𝑥 называется число: ∞ 𝑀 𝑥 = 𝑥𝑖 𝑝𝑖 = 𝑥1 𝑝1 + 𝑥2 𝑝2 + ⋯ +𝑥𝑖 𝑝𝑖 𝑖=1 в предположении, что ряд абсолютно сходится. Математическое ожидание случайной величины и его свойства Пример Пусть случайная величина 𝑥 определена рядом распределения x -1 0 1 3 5 p 0,1 0,3 0,2 0,25 0,15 Найти 𝑀(𝑥). Математическое ожидание случайной величины и его свойства Ключ к примеру x -1 0 1 3 5 p 0,1 0,3 0,2 0,25 0,15 ∞ По формуле 𝑀 𝑥 = 𝑥𝑖 𝑝𝑖 имеем: 𝑖=1 𝑀(𝑥) = −1 ∙ 0,1 + 0 ∙ 0,3 + 1 ∙ 0,2 + 3 ∙ 0,25 + 5 ∙ 0,15 = 1,4 Ответ: 1,4 Математическое ожидание случайной величины и его свойства Определение Если случайная величина 𝑥 – непрерывная и 𝑓 𝑥 плотность распределения ее, то 𝑀(𝑥) определяется равенством: ∞ 𝑀 𝑥 = 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 −∞ при условии, что несобственный интеграл сходится абсолютно. Математическое ожидание случайной величины и его свойства Пример Найти математическое ожидание случайной величины 𝑥, зная его плотность распределения: 𝑓(𝑥) = 1 2𝑒 при 𝑎 − 𝑙 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 + 𝑙, 𝑓 𝑥 =0 при остальных значениях 𝑥. Математическое ожидание случайной величины и его свойства Ключ к примеру ∞ 𝑀 𝑥 = 𝑎+𝑙 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = −∞ 𝑎−𝑙 1 1 𝑥2 𝑎 + 𝑙 ⋅ 𝑥𝑑𝑥 = ⋅ =𝑎 2𝑒 2𝑒 2 𝑎 − 𝑙 Ответ: 𝑎. Математическое ожидание случайной величины и его свойства Вероятностный смысл математического ожидания Случайная величина 𝑥 в результате N испытаний 𝑚1 раз приняла значение 𝑥1 , 𝑚2 раз - значение 𝑥2 , и так далее 𝑚𝑛 раз - 𝑥𝑛 . 𝑛 𝑘=1 𝑚𝑛 𝑋= = 𝑁; 𝑛 𝑘=1 𝑥𝑛 𝑚𝑛 𝑁 ; Математическое ожидание случайной величины и его свойства Вероятностный смысл математического ожидания 𝑋= 𝑚𝑘 𝑛 𝑘=1(𝑥𝒌 𝑁 ) 𝑤𝑘 = 𝑚𝑘 ; 𝑁 𝑋= 𝑛 𝑘=1 𝑥𝑛 𝑤𝑘 𝑋 ≈ 𝑀(𝑥); = 𝑚1 𝑥1 𝑁 𝑚2 + 𝑥2 𝑁 + 𝑚𝑛 ⋯ + 𝑥𝑛 ; 𝑁 = 𝑥1 𝑤1 + 𝑥2 𝑤2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑤𝑛 ; Математическое ожидание случайной величины и его свойства Математическое ожидание случайной величины 𝑥 постоянная величина. Оно показывает, какое значение случайной величины следует ожидать в среднем при испытаниях или наблюдениях. Математическое ожидание случайной величины и его свойства Свойства математического ожидания 1) 𝑀 𝐶 = 𝐶, 𝐶 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡; 2) 𝑀 𝐶𝑥 = 𝐶 ⋅ 𝑀 𝑥 𝑀 𝐶𝑥 = 𝑘 𝐶𝑥𝑘 𝑝𝑘 = 𝐶 ⋅ 𝑀 𝑥 ; 3) 𝑀 𝑥 ⋅ 𝑦 = 𝑀 𝑥 ⋅ 𝑀 𝑦 , для независимых случайных величин 𝑥𝑘 → 𝑝𝑘 , 𝑦𝑚 → 𝑞𝑚 ⇒ 𝑥𝑘 𝑦𝑚 → 𝑝𝑘 𝑞𝑚 ; 𝑀 𝑥 ⋅ 𝑦 = 𝑘,𝑚 𝑥𝑘 𝑦𝑚 𝑝𝑘 𝑞𝑚 ; 𝑀 𝑥 ⋅𝑀 𝑦 = 𝑘,𝑚 𝑥𝑘 𝑝𝑘 𝑘,𝑚 𝑦𝑚 𝑞𝑚 = 𝑘,𝑚 𝑥𝑘 𝑝𝑘 𝑦𝑚 𝑞𝑚 ; Математическое ожидание случайной величины и его свойства Свойства математического ожидания 4) 𝑀 𝑥 + 𝑦 = 𝑀 𝑥 + 𝑀(𝑦); 𝑀 𝑥 + 𝑦 = 𝑘,𝑚 𝑥𝑘 + 𝑦𝑚 𝑝𝑘𝑚 = 𝑘,𝑚 𝑝𝑘𝑚 = 𝑝𝑘 ; 𝑘,𝑚 𝑝𝑘𝑚 = 𝑞𝑚 ; Тогда 𝑀 𝑥 + 𝑦 = 𝑘 𝑥𝑘 𝑝𝑘 + 𝑘,𝑚 𝑥𝑘 𝑝𝑘𝑚 𝑚 𝑦𝑚 𝑞𝑚 + 𝑘,𝑚 𝑦𝑚 𝑝𝑘𝑚 ; = 𝑀 𝑥 + 𝑀(𝑦) Математическое ожидание случайной величины и его свойства Математическое ожидание функции 𝜑 𝑥 случайной величины 𝑥 имеет вид: ∞ 𝑀 𝜑 𝑥 = 𝜑 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 −∞ для непрерывной случайной величины и ∞ 𝑀 𝜑 𝑥 = 𝜑(𝑥𝑖 )𝑝𝑖 𝑖=1 для дискретной случайной величины.