Зачет по геометрии 8 класс Часть 1. Перешивкина А.Ю.

Зачет по геометрии
8 класс
Часть 1.
Перешивкина А.Ю.
ГБОУ школа №494 г
Санкт - Петербург
Билет №1.
В треугольнике АВС угол В равен 82°, угол С
равен 40°, биссектрисы АА1 и СС1
пересекаются в точке М. Найдите углы
четырехугольника А1ВС1М.
В
С1
А1
М
А
С
Решение.
1. Рассмотрим ∆АВС. ВАС = 1800 – (820 +400) = 580
2. Рассмотрим ∆АВА1.
А1А В= 290, т.к. АА1-биссектриса ВАС
 ВА1А = 1800 – (290 + 820) = 690
3. Рассмотрим ∆СВС1.
С1С В= 200, т.к. СС1-биссектриса ВСА
 ВС1С = 1800 – (200 + 820) = 780
4. А1ВС1М – четырехугольник.  А1МС1 = 3600 – (690 + 820 + 780) = 1310
Ответ: 1310,690 ,780, 820
Билет №2.
Треугольник АВС и А1В1С1 равны, периметр ∆АВС
равен 105 см, а А1В1 : В1С1 : С1А1 = 4: 5 : 6.
Найдите стороны ∆ АВС.
Решение.
1. Т.к. ∆АВС = ∆ А1В1С1, то Р ∆АВС= Р ∆ А1В1С1 = 45см и АВ=А1В1 ,ВС=В1С1 ,СА= С1А1
2. Т.к.А1В1 : В1С1 : С1А1 = 4: 5 : 6, то 105 : (4 +5+6) = 7см - составляет 1 часть
3. АВ = 7 · 4 =28см, ВС = 7 · 5 =35см, АС = 7 · 6 = 42см
Ответ: 28см, 35см, 42см
Билет №3.
В угол, равный 120°, вписана окружность
радиуса 8 см. Найдите расстояние между
точками касания окружности со
сторонами угла.
Найти: ВС
О
В
С
А
Решение.
1.ОВ  АВ, т.к. АВ  касательн.
ОС  АС , т.к. АС  касательн.
2. Рассмотрим четырехугольник АВОС
ВОС  360  (120  2  90)  60
3.ВОС  равнобедренный, т.к. ВО  ОС , как радиусы окр.
ОВС  ОСВ  (180  60) : 2  60
ВОС  равносторонний , значит ВС  ВО  ОС  8см
Ответ : 8см
Билет №4.
Высота прямоугольного треугольника
разделила его на два треугольника,
отношение площадей которых равно 4 : 9.
Найдите тангенс меньшего из острых углов
этого треугольника.
В
Н
А
С
Решение.
1. ∆АСН подобен ∆СВН
2. SCBH : SАСН = 4 : 9, SCBH : SACH = k2,значит k= 2/3.
3. k = ВС : АС = 2/3 tgA = 2/3
Ответ: 2/3
Билет №5.
На окружности взяты точки А,В, и С так, что
центр окружности О оказался во
внутренней области треугольника АВС и
угол АОВ = 128°, ВОС = 152°. Найдите углы
треугольника АВС
А
Найти: углы ∆АВС
128°
О
152°
В
С
Решение.
1. ВАС – вписанный угол, опирающийся на дугу ВС,
ВОС –центральный угол, опирающийся на дугу ВС , значит
ВАС = ½ ВОС = 760
2. АСВ – вписанный угол, опирающийся на дугу АВ,
ВОА –центральный угол, опирающийся на дугу АВ , значит
АСВ = ½ ВОА = 640
3. Рассмотрим ∆АВС.
 АВС = 1800 – (640 + 760) =400
Ответ: 400,760,640
Билет №6. Две окружности с центром О и К
имеют соответственно радиусы 4 и 8см.
Найдите радиусы окружностей, касающихся
одновременно двух данных, если их
центры лежат на прямой ОК, и отрезок ОК
равен 6см.
D
1. Окружность с диаметром DM.
МО= МK – OK = 8 – 6 = 2cм,
DM = 4 – МО = 4 – 2 =2см, R1 = 1cм
2. Окружность с диаметром MР.
РК = МK – ( OР + МО) =
= 8 – (4 + 2) = 2cм
МР = МК – РК =
= 8 – 2 = 6см, R2 = 3cм
M
P
О
К
A
3. Окружность с диаметром РА.
PA = KA + PK =
= 8 + 5 = 10cм, R3 = 5cм
4. Окружность с диаметром DA.
DA = DM + OP +PA = 2 + 6 + 10 = 18cм,
R4 = 9cм
Билет №7. Прямые m и l параллельны,
прямая b перпендикулярна прямой l, а
прямая f пересекает прямую m под углом
48°. Найдите угол между прямыми b и f .
f
b
A
C
m
48°
Найти: угол B
l
Решение.
1.Т .к.
В
b  m, m // l , значит b  l.
2.АВС  прямоуголь ный
АВС  180  (48  90)  42
Ответ : 42.
Билет №8. В окружности проведен диаметр
АВ и хорда АС, равная радиусу окружности.
Найдите углы треугольника АВС.
А
Найти: углы ∆АВС
О
В
С
Решение.
1. АО = АС (по усл.), ОС = АО, как радиусы окр. Значит АО = АС = ОС ,
∆ АОС – равносторонний , ОАС = АСО =СОА = 600
2.  ВСА опирается на полуокружность, значит ВСА = 900 .
3.Рассмотрим ∆ АВС .  ОВС = 1800 – (900 + 600) = 300
Ответ: 300,600,900