П ЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА И МЕДИАНА Учитель математики МАОУ СОШ №3

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА И
МЕДИАНА
Учитель математики МАОУ СОШ №3
Короткова А. Э.
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ И ЛИНИИ
ТРЕУГОЛЬНИКА
ЭЛЕМЕНТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА
Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с
серединой противоположной стороны (рис. 1).
Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника,
соединяющий вершину с точкой противоположной стороны (рис. 2).
Высота треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника
с точкой противоположной стороны или ее продолжения и
перпендикулярный этой стороне (рис. 3).
Пропорциональность площадей
Площади треугольников, имеющих
равные высоты, относятся как основания,
к которым проведены эти высоты.
𝑆𝐴𝐵𝐶
𝑆𝐴𝐾𝐶
𝑆𝐾𝐵𝐶
1
= 𝐶𝑀 ∙ 𝐴𝐵
2
1
= 𝐶𝑀 ∙ 𝐴𝐾
2
1
= 𝐶𝑀 ∙ 𝐾𝐵
2
C
h
а
A
К
М
Значит, SAВС:SAKС:SKBС=AB:AK:KB
B
Следствие 1
Медиана треугольника делит его на два
равновеликих треугольника.
В
S ABM  S MBC
А
М
С
Применение
В
2 97
12
А
М
С
Рассмотреть на уроке
B
C
О
А
СЛЕДСТВИЕ 1.
D
S AOВ  S BOC  SCOD
S ADВ  S ABC
1
 S DOA  S ABCD
4
1
 S ABCD
2
Следствие 2
СЛЕДСТВИЕ 2.
Медианы треугольника делят его на
шесть равновеликих треугольников.
S AOC1  S BOC1  S BOA1  SCOA1  SCOB1  S AOB1 
1
 S ABC
6
В
С
О
А1
1
А
В
1
С
СЛЕДСТВИЕ 3.
Доказать на уроке
Средняя линия треугольника отсекает
1
от данного треугольник, площадь
4
которого равна
площади исходного
треугольника.
B
S MBN 1

S ABC 4
M
A
N
K
C
Теорема
СВОЙСТВО МЕДИАН ТРЕУГОЛЬНИКА
Медианы треугольника пересекаются в
одной точке и точкой пересечения
делятся в отношении два к одному,
считая от вершины.
В
AO BO
CO 2



OA1 OB1 OC1 1
С1
А
О
В1
А1
С
Задача №3
Медианы ВК и ЕМ треугольника ВСЕ
пересекаются в точке О. Найти SMOK:SCMK.
Е
К
О
В
М
С
Решение. Обозначим SАВС = 1. SМЕС =
½. В треугольнике СМЕ МК –
медиана => SСМК = SМКЕ =
½ SМЕС = ¼.
В треугольнике МКЕ (по свойству
точки пересечения медиан) ЕО:ОМ
= 2:1 =>SЕКО : SМОК = 2:1, т.е. SМОК = ⅓
SМКЕ = ⅓·¼ = 1/12.
SMOK:SCMK = (1/12) : (1/4) = 1:3.