"Тригонометрические функции любого угла".

Польская Т. С. 142 группа
 формировать умения вычислять значения
тригонометрических функций по известному
значению одной из них;
 Формирование знаний о тригонометрических
функциях, их свойствах;
 способствовать развитию познавательного
интереса у учащихся, логического мышления,
математической и общей грамотности.
 Немного истории
 Угол поворота
 Координатные четверти
 Определения тригонометрических функций, их
свойства. Таблица.
 Области определения и области значения
 Знаки тригонометрический функций
 Радианная и градусная меры углов
Слово «тригонометрия» греческого
происхождения. В переводе на русский
язык оно означает «измерение
треугольников» (trigwnon - треугольник, а
metrew- измеряю).
Существенный вклад в развитие
тригонометрии внес Эйлер. Им дано
современное определение
тригонометрических функций и указано на
тесную связь этих функций с
показательными функциями.
меню
При повороте против
часовой стрелки угол поворота
считается положительным, по
часовой стрелке отрицательный. Угол поворота
может выражаться в градусах
каким угодно действительным
числом от -∞ до +∞.
меню
Верны ли данные равенства? Ответ обосновать.
α+770 ° = α +50 °
α+770 ° = α+2*360 °+50= α+50 °
α +480 ° = α +120 °
α+480 ° = α+360 °+120= α+120 °
α -420 ° = α -60 °
α-420 ° = α-360 °- 60= α-60 °
α -310 ° = α +50°
α-310 ° = α-360 °+50= α+50 °
меню
Координатные четверти
ОА – начальный радиус
переходит в радиус ОВ.
90 º
0°<α<90°- первая четверть
I
II
90°<α<180°- вторая четверть
180°<α<270°- третья четверть
270°<α<360°- четвертая четверть.
Углы 0°, ± 90°, ± 180°, ± 270°, ± 360°
не относятся ни к какой четверти.
180 º
0º
III
IV
270º
меню
Определите, какой четверти принадлежит угол α,
если:
 α= 135 °
135 °
58 °
 α = 58 °
 α = 345°
0º
180 º
 α = -152 °
-152 °
345 °
 α = 180 °
 α=0°
меню
Синусом угла α называется
отношение ординаты точке В к
длине радиуса.
Косинусом угла α называется
отношение абсциссы точки В к
длине радиуса.
меню
 Тангенсом угла α
называется отношение
ординаты точки В к ее
абсциссе.
 Котангенсом угла α
называется отношение
абсциссы точки В к ее
ординате
меню

Синус, тангенс и котангенс являются
нечетными функциями, а косинус - четная функция.

При изменении угла на целое число оборотов
значение тригонометрических функций не
изменяется.
меню
α
0º
sin α
0
cos α
1
tg α
30º
45º
1/2
3
2
0
60º
2
2
2
2
-
3
2
3
1
0
1
2
1
3
3
ctg α
90º
-
3
1
3
3
0
меню
 2 cos 0° – 4 sin (-90 °) + 5 tg 180 ° =
 2 ctg 90 ° -3 cos 270 ° +5 sin 0 ° =
6
0
 4 tg 45 ° +6 sin 270 ° - 0.5 cos 90 ° =
-2
 3 cos (-60 °) + 4 sin 450 ° -5 sin 30 °=
3
меню
Область определения выражение sin α и cos α
определены при любом α. Выражение tg α имеет смысл
при любом , кроме углов поворот а ±90º , ±270º, ±450º и
т.д. Для выражения ctg α исключаются углы 0º, ±180º,
±360º и т.д.
Областью значения синуса и косинуса является
промежуток [-1;1], а тангенса и котангенса – множество
всех действительных чисел.
меню
Может ли sin α принимать значения:
а. 3/2
б. √3-1
в.
г.
32
4
34
2
меню
sin a
cos a
Знак sin α зависит от знака y, так как
sin=y/R. Если

угол α расположен в 1 и 2
четверти sin α >0,
 угол α лежит в 3 и 4 четверти
sin α <0.
Знак cos α зависит от знака x, так
как cos α=x/R. Если
• угол α расположен в 1 и 4
четверти cos a>0,
•угол α лежит в 2 и 3 четверти cos
α <0.
меню
Знаки tg α, ctg α зависят от
знаков x и y так как tg α=x/y,
ctg α=y/x .
 угол α расположен в 1 и 3
четверти tg α >0, ctg α >0.
 угол α лежит в 2 и 4 четверти
tg α <0, ctg α <0
tg a и ctg a
меню
Заполните таблицу. Определите знак функции для
каждого значения угла .
α°
sin
cos
tg
ctg
67
+
+
+
+
134
+
-
-
-
-257
+
-
-
-
-9
-
+
-
-
190
-
-
+
+
меню
Углом в один радиан называют центральный угол,
которому соответствует длина дуги, равная длине
l


радиуса окружности.
R
Радианная мера угла в 1 º = π/180,

1 рад = 180/ π.
меню
Найдите радианные меры углов
а) 45 °
45°=45*π/180= π/4
б) 270 °
270°=270* π/180=3 π/2
12°=12* π/180= π/15
в) 12 °
Выразите в градусах
а)5 радиан
5=5*180°/ π=900/ π≈286.6°
б) 1,2 радиан
1.2=1.2*180°/ π=216/ π ≈68.8°
в) 6 радиан
6=6*180°/ π=1080/ π ≈ 343.8°
меню