Метод площадей

 Теория
 Задачи
Метод площадей. Теория.
Теорема 1.
h
S1
m
Если треугольники имеют общую
вершину и их основания лежат
на одной прямой, то площади
треугольников
пропорциональны длинам их
оснований :
S2
n
S1 m

S2 n
Доказательство:
S1 0,5  m  h m


S2 0,5  n  h n
Метод площадей. Теория.
Теорема 2.
S2
S
S 1mx S6  nx
5
S3  my
m
S4  ny
n
Доказательство:
Если треугольники имеют
общую сторону, то их площади
пропорциональны длинам
отрезков, высекаемых
продолжением их общей
стороны на прямой,
соединяющей их вершины:
S1
m

S2
n
S1
S5  S 3
mx  my m  ( x  y ) m




S2
S6  S 4
nx  ny
n  ( x  y)
n
Метод площадей. Теория.
B
D
S1
A
H
S2
C K
Доказательство:
S ABC  S ADC  BH  DK 
Прямая BD параллельна прямой АС.
Теорема 3.
Если основания
треугольников
совпадают, а вершины
лежат на прямой,
параллельной основанию,
то площади треугольников
– одинаковы.
(Обратная) Если площади
треугольников АВС и АВD
равны, то прямые АС и ВD
параллельны.
Метод площадей. Теория.
B
m
a
N
n
b
M
Теорема 4.
Если два треугольника
имеют общий угол, то их
площади относятся как
произведения сторон,
содержащих этот угол.
C
S ABC
AB  BC

S BMN BN  BM
Доказательство:
A
S ABC 0,5ab sin B ab


S BMN 0,5mn sin B mn
Метод площадей. Теория.
a
S1
b
ka
S2
kb
Теорема 5.
Площади подобных
треугольников
относятся как квадрат
коэффициента
подобия.
Доказательство:
Углы треугольников равны, поэтому по
предыдущей теореме получаем
S1
a b
1

 2
S2
ka  kb k
B
Метод площадей.
Задачи-иллюстрации.
x
В треугольнике АВС
проведены
медианы, М – точка их
пересечения. Найти
площадь треугольника
АВМ, если площадь
исходного треугольника
равна 9.
A1
M
2x M
A
C
Решение:
B1
1) S ABA1 : S ACA1  1 : 1  S ABA1  0,5  9  4,5
2
2) S ABM : S BMA1  2 x : x  2 : 1  S ABM   4,5  3
3
Метод площадей.
Задачи-иллюстрации.
10 n
SS1 110
S4  ?
S22  15
m S3  24
Диагонали разделили
четырехугольник на
треугольники, площади
трех из которых равны 10,
15 и 24.
Найти площадь четвертого
треугольника.
Решение:
1)S1 : S2  10 : 15  2 : 3  n : m
2
2) S4 : S3  n : m  2 : 3  S4   24  16
3
В?
5
P
А
12
M
24
3x
2x
10
Метод площадей.
Задачи-иллюстрации.
К
y
2y
6x
N 18
?
В треугольнике АВС проведены
чевианы, которые пересекаются
в одной точке и высекают на
стороне АВ отрезки 5 и 10, а на
стороне АС отрезки 12 и 18.
Найти длины отрезков,
высекаемых на стороне ВС, если
ее длина 24.
С
Решение:
1) S ABK : SBKC  AN : NC  12 : 18  2 : 3
2) S ACK : SBKC  AP : PB  10 : 5  2 : 1
3) y  3x  2 y  6 x
4) BM : MC  S ABK : S AKC  2 x : 6 x  1 : 3
Ответ: ВМ=6, МС=18.
Метод площадей.
Задачи-иллюстрации.
B
2x C
4?y
O
z
z
?
O
6?y
6y
9?y
9y
A
3x
3) Используем отношение площадей:
В трапеции проведены обе
диагонали. Ее основания
относятся как 2:3. Площадь всей
трапеции равна 75. Найти площади ее
кусочков.
Решение:
1) ΔАОD подобен ΔСОВ
с коэффициентом 2:3. Следовательно,
SBOSC : S AOD  4 : 9
D
2) Площади треугольников ABD и
ACD одинаковы, треугольник AOD –
их общая часть, поэтому площади
треугольников АОВ и СOD равны.
S ABO
AO
S
z
9y

 AOD 

S BOC
OC
S DOC
4y
z
Тогда z  4 y  9 y  6 y. Таким образом, 4 y  6 y  6 y  9 y  25 y  75
y  3  S ABO  SCOD  6  3  18, S ADO  9  3  27, SCOВ  4  3  12.
Метод площадей.
Задачи-иллюстрации.
B
C
Площадь параллелограмма ABCD
2a NN S  2
равна 10. Найти площадь
P
S 2
четырехугольника MNPQ.
2a Р
Решение:
a
S

?
K
M
1) Найдем площадь треугольника ВКС:
S 2
M
S
 0,5  S
 10 : 4  2,5.
QQ
2
a
2a
S 2
2) Найдем площадь треугольника BPL:
D
S
BР 4
BKC
A
BPC
S BKC

BDC
BK

5
 S BPC  0,8  2,5  2.
3) Аналогично, площади треугольников ABN, ADM и CQD равны 2.
4) Тогда
S MNPQ  10  4  2  2