МОДУЛЬ 12 КВАНТОВАЯ ФИЗИКА АТОМОВ 2015

УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ
«КВАНТОВАЯ ФИЗИКА АТОМОВ И МОЛЕКУЛ»
Атом водорода

модель атома

квантовые числа

принцип отбора

спин электрона
•
•
•
•
•
•
Принципы квантовой физики
• принцип неразличимости
тождественных частиц
• квантовые статистики БозеЭйнштейна и Ферми-Дирака
• Принцип Паули
Излучения
распределение электронов в атоме
по состояниям
рентгеновские спектры
молекулярные спектры
комбинационное рассеяние
поглощение и излучение.
лазеры
Атом водорода
Поле водородоподобного атома — это пример
4
me
центрального поля. В таком поле удобно
Ei  E1  2 2  13,55эВ
использовать сферическую систему
8h  0
координат: r , θ, ϕ.
Потенциальная энергия
4 Энергия ионизации
Ze атома водорода:
кулоновского взаимодействия
U (r )  
электрона с атомным ядром,
40 r
обладающим зарядом Ze
(для атома водорода Z = 1)
атом ионизуется
Стационарное уравнение Шредингера
2m 
Ze 4 
  0
  2  E 
 
40 r 
только при собственных значениях энергии
1 Z 2 me4
En   2
n 8h 2 02
E<0
движение электрона —
связанное
Квантовые числа
n  1,2,3,...
• Главное квантовое число n определяет
энергетические уровни электрона в атоме:
• Орбитальное квантовое число l при
заданном n принимает значения:
l  0,1,2,..., (n  1)
и определяет величину момента импульса
(механический орбитальный момент)
электрона в атоме:
• Магнитное квантовое число m при данном l
принимает значения:
и вопределяет
момента
импульса
магнитном величину
поле уровень
с
электрона
в заданномчислом
направлении.
Так
главным квантовым
n
орбитальный
момент
электрона L может
расщепляется
на 2 l импульса
+1
иметь
лишь такие
ориентации
в пространстве, при
подуровней
— эффект
Зеемана.
которых
проекция
Llz вектора
Расщепление
уровней
энергииL во
навнешнем
направление
внешнего поле
магнитного поля
электрическом
принимает
только
квантованные
значения, кратные
называется
эффектом
Штарка.
h (пространственное квантование):
Llz  m
L1   l (l  1)
m  0,1,2,...,l
l 1 l  2
Атом водорода
1. В квантовой механике квадрат модуля волновой функции
определяет вероятность обнаружения электрона в единице
объема.
2. Вероятность обнаружения электрона в разных частях атома
различна. Электрон при своем движении как бы "размазан" по
всему объему, образуя электронное облако, плотность
(густота) которого характеризует вероятность нахождения
электрона в различных точках объема атома.
3. Квантовые числа n и l характеризуют размер и форму
электронного облака, а квантовое число m характеризует
ориентацию электронного облака в пространстве.
4. В атомной физике, по аналогии со спектроскопией, состояние
электрона, характеризующееся квантовым числом
l = 0 , называется s − состоянием (электрон в этом состоянии
называется s -электроном),
l = 1 — p - состоянием,
l = 2 — d - состоянием,
l = 3 — f - состоянием и т.д.
Атом водорода
1. графические
изображения
(полярные диаграммы)
плотностей
вероятности
для s -, p -, d - и f электронов
соответствующее
каждому случаю
2. пространственное
квантование — такая
ориентация
боровских орбит, при
которой проекция
момента импульса имеет
соответствующее
значение
(например,
± 2 h для
l =2, m = 2 ).
Атом водорода
Правила отбора.
Переходы между электронными состояниями возможны только в
том случае, если:
1) изменение ∆l орбитального квантового числа l удовлетворяет
Условию ∆l = ± 1
2) изменение ∆m магнитного квантового числа m удовлетворяет
Условию ∆m = ± 0 , 1
Так, например, в атоме водорода переходы np → 1s (n = 1,2,3…)
образуют серию Лаймана
Спин электрона.
Электрон
обладает
собственным
неуничтожимым механическим моментом
импульса, не связанным с движением электрона в
пространстве — спином.
1. Спин был обнаружен в экспериментах Штерна
и Герлаха
2. Спин электрона наглядно представляют, как
момент импульса, связанный с вращением электрона
— твердого шарика —вокруг своей оси, но такая модель
приводит к абсурдному результату —
линейная скорость на поверхности электрона
в 200 раз превышает скорость света.
3. Следует рассматривать спин электрона (и всех других
микрочастиц) как внутреннее неотъемлемое квантовое
свойство
микрочастицы: подобно тому как частицы имеют массу, а
заряженные частицы заряд, они имеют еще и спин.
Спин
как механический момент, квантуется по закону:
s — спиновое квантовое число.
Ls   s(s  1)
Спин электрона.
Проекция Lsz спина квантуется так, что вектор Ls может принимать 2s + 1
ориентаций. Так как опыты Штерна и Герлаха обнаружили только две
ориентации спина, то 2s + 1 = 2 откуда:s = 1/2
L  m
Проекция
где ms — магнитное спиновое
lz
квантовое число, которое может иметь только два значения:
состояние электрона в атоме определяется набором
четырех квантовых чисел:
1
ms  
2
Принцип неразличимости тождественных частиц.
Фермионы и бозоны
В квантовой физике частицы, имеющие одинаковые физические свойства
— массу, электрический заряд, спин и т.д. являются тождественными.
Принцип неразличимости тождественных частиц:
тождественные частицы экспериментально различить невозможно.
Этот фундаментальный (основополагающий) принцип квантовой физики
не имеет аналога в классической физике.
Математическая запись принципа неразличимости:
| ( x1 , x2 ) | | ( x2 , x1 ) |
2
2
где x1 и x2 — соответственно совокупность пространственных и
спиновых координат первой и второй частиц.
 ( x1 , x2 )   ( x2 , x1 )
В первом случае волновая функция
системы при перемене частиц
местами не меняет знака; такая
функция называется
симметричной.
 ( x1, x2 )   ( x2 , x1 )
Во втором случае при перемене
частиц местами знак волновой
функции изменяется; такая функция
называется антисимметричной.
Принцип неразличимости тождественных частиц.
Фермионы и бозоны
характер симметрии не меняется со временем,
свойство симметрии или антисимметрии — признак данного
типа частицы.
Симметрия волновых функций определяется спином частиц.
Частицы с полуцелым спином
(например, электроны,
протоны, нейтроны)
описываются
антисимметричными
волновыми функциями и
подчиняются
статистике Ферми–Дирака:
эти частицы называются
фермионами.
Частицы с нулевым или
целочисленным спином
(например, -мезоны,
фотоны) описываются
симметричными волновыми
функциями и подчиняются
статистике Бозе–Эйнштейна;
эти частицы называются
бозонами.
Понятия о квантовой статистике
Бозе–Эйнштейна и Ферми–Дирака.
1. Для квантовых систем, состоящих из огромного числа неразличимых
тождественных квантовых частиц, подчиняющихся законам квантовой
механики, применяются методы квантовой статистики.
 W 
n  n exp  

 kT 
2. В молекулярной физике классических систем
распределение частиц идеального газа по энергиям
0
во внешнем потенциальном поле W при заданной
температуре T описывается распределением
Больцмана:
3. В квантовой статистике используется модель идеального газа
квазичастиц, причем основной характеристикой данного квантового
состояния с данным набором i квантовых чисел, является число
заполнения Ni, указывающее степень заполнения данного квантового
состояния частицами системы, состоящей из множества тождественных
частиц.
4. Для систем частиц, образованных бозонами, числа заполнения могут
принимать любые целые значения: 0, 1, 2... K . Для систем частиц,
образованных фермионами, числа заполнения могут принимать лишь
два значения: 0 для свободных состояний и 1 для занятых.
5. Сумма всех чисел заполнения должна быть равна числу частиц
системы.
Понятия о квантовой статистике
Бозе–Эйнштейна и Ферми–Дирака.
Идеальный газ из бозонов — бозе-газ — описывается квантовой
статистикой Бозе–Эйнштейна.
Распределение Бозе–Эйнштейна — закон,
выражающий распределение частиц по
энергетическим состояниям в бозе-газе: при
статистическом равновесии и отсутствии
заимодействия среднеечисло частиц в i -м
состоянии с энергией Ei равно:
µ— химический потенциал —
термодинамическая функция состояния,
определяющая изменение внутренней
энергии системы при изменении числа
частиц в системе, при условии, что все
остальные величины, от которых зависит
внутренняя энергия (энтропия, объем, и т.д.),
фиксированы. Химический потенциал
необходим для описания свойств открытых
систем
1
N 
 Ei   
exp 
 1
 kT 
где k— постоянная
Больцмана,
T— термодинамическая
(абсолютная)
температура,
µ— химический
потенциал
Открытая система система с переменным
числом частиц.
Понятия о квантовой статистике
Бозе–Эйнштейна и Ферми–Дирака.
Идеальный газ из фермионов — ферми-газ — описывается квантовой
статистикой Ферми–Дирака.
Распределение Ферми–Дирака — закон,
выражающий распределение частиц по
энергетическим состояниям в ферми-газе:
при статистическом равновесии и
отсутствии взаимодействия среднее число
частиц в i -м состоянии с энергией Ei равно:
При высоких температурах
оба распределения Бозе–Эйнштейна и
Ферми–Дирака переходят в
классическое распределение
Максвелла–Больцмана:
Таким образом, при высоких
температурах оба "квантовых" газа
ведут себя подобно классическому газу.
1
Ni 
 Ei   
exp 
 1
 kT 
 Ei   
exp 
  1
 kT 
 Ei 
N i  A exp  
 kT 
  
A  exp  
 kT 
Сравнение различных статистик на примере распределения
двух частиц по трем состояниям:
а - статистика Максвелла-Больцмана;
б - статистика Бозе-Эйнштейна;
в - статистика Ферми-Дирака
Принцип Паули.
• Системы электронов (фермионов) встречаются в природе
только в состояниях, описываемых антисимметричными
волновыми функциями.
• В одном и том же атоме не может быть более одного
электрона с одинаковым набором четырех квантовых чисел
n , l, m , ms
1. два одинаковых электрона (фермиона), входящих в
одну систему, не могут находиться в одинаковых состояниях
(иначе при
перестановке волновая функция была бы четной).
2. в одинаковом состоянии может находиться любое число
бозонов.
Распределение электронов в атоме по состояниям.
1. Совокупность электронов в многоэлектронном атоме, имеющих
одно и то же главное квантовое число n , называется электронной
оболочкой.
n 1
2. Максимальное число электронов,
2
находящихся в состояниях определяемых Z ( n) 
2(2l  1)  2n
данным главным квантовым числом, равно
l 0

3. В каждой из оболочек электроны распределяются по одоболочкам,
соответствующим данному l .Поскольку l принимает значение от 0 до n
− 1 , то число подоболочек равно порядковому номеру n оболочки.
4. Количество электронов в подоболочке определяется квантовыми
числами m и ms : максимальное число электронов в подоболочке с
данным l равно 2(2l +1)
Обозначения оболочек, а также распределение
оболочкам и подоболочкам представлены в таблице.
электронов
по
Принцип Паули, лежащий в основе систематики заполнения
электронных состояний в атомах, объясняет периодическую систему
элементов Д.И.Менделеева повторяемостью в структуре внешних
оболочек у атомов родственных элементов).
Рентгеновские спектры.
Самым распространенным источником
рентгеновского излучения является
рентгеновская трубка, в которой вылетающие
с катода K электроны бомбардируют анод A
(антикатод), изготовленный из тяжелых
металлов (W, Cu, Pt и т.д.).
Рентгеновское излучение, исходящее из анода, состоит из сплошного
спектра тормозного излучения, возникающего при торможении
электронов в аноде, и линейчатого спектра характеристического
излучения, определяемого материалом анода.
Тормозное излучение имеет коротковолновую границу λmin, называемую
границей сплошного спектра, которая соответствует ситуации, при
которой вся энергия электрона переходит в энергию рентгеновского кванта
Emax  h max  eU
min 
c
 max
ch
ch


eU Emax
не зависит от материала анода, а определяется только напряжением на трубке.
Рентгеновские спектры.
1. Линии характеристического излучения
возникают в результате переходов электронов во
внутренних оболочках атомов, которые имеют
сходное строение у всех элементов.
2. Спектры характеристического излучения
разных элементов имеют сходный характер, они
состоят из нескольких серий, обозначаемых K , L
, M , N и O. Каждая серия, в свою очередь,
содержит небольшой набор отдельных линий,
обозначаемых в порядке убывания длины волны
индексами α, β, γ, …
3 При возбуждении электроном (или фотоном)
из атома удаляется один из внутренних
электронов, например, из K -слоя.
Освободившееся место может быть занято
электроном из какого-либо внешнего слоя ( L ,
M , N и т.д). — при этом возникает K -серия.
При увеличении атомного номера Z весь
рентгеновский спектр смещается в
коротковолновую часть, не меняя своей
структуры.
Рентгеновские спектры.
Рентгеновские спектры.
Закон, связывающий частоты линий с
атомным номером Z испускающего их
элемента, называется законом Мозли:
где R — постоянная Ридберга,
m = 1, 2, 3, K определяет
рентгеновскую серию ( K , N , M , L ), n
принимает целочисленные значения
начиная с m+1 (определяет отдельную
линию α, β, γ соответствующей серии),
σ— постоянная экранирования,
учитывающая экранирование данного
электрона от атомного ядра другими
электронами атома.
Закон Мозли обычно выражают формулой
  С (Z   )
1 
 1
  R( Z   )  2  2 
n 
m
2
Молекулярные спектры.
Молекула — это наименьшая частица вещества, состоящая из одинаковых
или различных атомов, соединенных между собой химическими связями, и
являющаяся носителем его основных химических свойств.
Химические связи обусловлены
взаимодействием внешних (валентных)
электронов атомов. Наиболее часто в
молекулах встречаются два типа связи:
1) Ионная связь осуществляется
кулоновским притяжением
атомов при переходе электрона
от одного атома к другому
(например NaCl … Na+ Cl− )
Ковалентная связь осуществляется
при обобществлении валентных
электронов двумя соседними атомами
Такое специфически квантовое
взаимодействие называется
обменным взаимодействием.
Молекула является квантовой системой; она описывается уравнением
Шредингера, учитывающим движение электронов в молекуле,
колебания атомов в молекуле, вращение молекулы. Решение этого
уравнения — обычно разбивается на две: для электронов и ядер
Молекулярные спектры.
Энергию изолированной молекулы можно представить в виде суммы:
E  Eэл  Eкол  Eв ращ
m m
Eэл : Eкол : Eвращ  1 :
:
M M
Eэл  Eкол  Eвращ
Eэл  110эВ
2
1
Eкол  10  10 эВ
5
3
Eвращ  10 10 эВ
Каждая из энергий квантуется и определяется квантовыми числами.
Молекулярные спектры.
Колебательная энергия, при
небольших значениях
колебательного квантового числа ,
определяется формулой для энергии
гармонического
осциллятора:
Вращательная энергия молекулы,
вращающейся с угловой скоростью
r ω , и имеющей момент инерции I
относительно оси, проходящей через
центр ее инерции, равна:
Момент импульса квантуется
по закону:
Eкол
1
 (  )
2
  0,1,2,...
Правило отбора для
колебательного квантового
числа: ∆ = ± 1
Ir2 ( Ir ) 2 M 2
Eвращ 


2
2I
2I
M   j ( j  1)
j  0,1,2,...
 2 j ( j  1)
Eвращ 
2I
Вращательная энергия молекулы
может иметь только квантованные
значения:
Правило отбора для вращательного
квантового числа: ∆j = ±1
Молекулярные спектры.
При переходе из одного
энергетического состояния
в другое, с учетом правил
отбора, поглощается или
испускается фотон с
энергией ∆E = h ν .
Типичные молекулярные
спектры представляют
собой совокупность
полос (полосатые
спектры), которые в свою
очередь состоят из
огромного числа настолько
тесно расположенных линий
— переходов между
энергетическими уровнями,
что их можно разделить,
только используя
спектральные приборы
высокой разрешающей
силы.
Комбинационное рассеяние света (эффект Рамана).
Частота источника
ν0
ν = νi + ν0
ν = νi - ν0
Стоксовы (или красные)
спутники.
Антистоксовы (или фиолетовые)
спутники.
Комбинационное рассеяние света есть процесс неупругого "столкновения"
фотонов с молекулами, в котором один фотон поглощается и один фотон
испускается молекулой.
Интенсивность
Если молекула перейдет
фиолетовых
Если молекула под
из возбужденного
спутников растет с состояния в основное,
действием света перейдет в
температурой, а
возбужденное состояние,
то испущенный фотон
красных
то испущенный фотон будет
будет иметь бóльшую
практически не
иметь меньшую частоту —
частоту — возникает
изменяется.
возникает стоксов
антистоксов
(красный) спутник.
(фиолетовый)
энергии фотонов одинаковы
спутник.
- в рассеянном свете
наблюдается несмещенная
линия.
Поглощение. Спонтанное и вынужденное излучение.
1. Вынужденное излучение (вторичные фотоны)
тождественно ( строго когерентно)
вынуждающему (первичным фотонам): оно
имеет такую же частоту, фазу, поляризацию,
направление распространения.
2. Испущенные фотоны, двигаясь в одном
Если
атом находится
в
Атом,
находясь в атомы,
направлении
и встречая
возбужденные
основном
состоянии
возбужденном
стимулируют
вынужденные
переходы:
1, происходит
то под действием
состоянии
2, может
размножение
фотонов.
внешнего излучения
может осуществиться
вынужденный переход в
возбужденное состояние
2, приводящий к
поглощению излучения.
спонтанно (без внешних
воздействий) перейти в
основное состояние,
испуская при этом фотон с
энергией hν = E2 − E1.
Процесс испускания фотона
возбужденным атомом без
внешних воздействий
называется спонтанным
излучением.
спонтанное излучение
некогерентно.
Если на атом,
находящийся в
возбужденном состоянии
2, действует внешнее
излучение с частотой, hν =
E2 − E1,то возникает
вынужденный
(индуцированный)
переход в основное
состояние 1 с излучением
фотона той же энергии
дополнительно к тому
фотону, под действием
которого произошел
переход.
Лазеры
Эффект усиления излучения в активных средах используется в
оптических квантовых генераторах, или лазерах (Light Amplification
of Stimulated Emission of Radiation — LASER).
1. необходимо, чтобы интенсивность вынужденного излучения
превышала интенсивность поглощения фотонов.
2. необходимо, чтобы заселенность возбужденного состояния
(число атомов в возбужденном состоянии) была больше, чем
заселенность основного состояния (число атомов в основном
состоянии). Такое термодинамически неравновесное состояние
называется состоянием с инверсией населенностей.
3. Процесс перевода системы в состояние с инверсией
населенностей называется накачкой (осуществляется
оптическими, электрическими и другими способами).
4. Инверсная среда, в которой происходит усиление падающего на
нее пучка света, называется активной.
5. Для многократного усиления лазерной генерации используется
оптический резонатор
6. Закон Бугера для таких сред имеет отрицательный
коэффициент поглощения
I  I 0 exp( x)
Идея использования
неравновесных сред для
получения оптического
усиления впервые была
высказана
В. А. Фабрикантом в
1940 году. В 1954 году
русские физики Н. Г. Басов и
А. М. Прохоров и
независимо от них
американский ученый
Ч. Таунс использовали
явление индуцированного
испускания для создания
микроволнового генератора
радиоволн с длиной волны
λ = 1,27 см. За разработку
нового принципа усиления и
генерации радиоволн в
1964 году все трое были
удостоены Нобелевской
премии
Лазеры
по типу активной
среды
(твердотельные,
газовые,
полупроводниковые и
жидкостные);
по методам накачки
(оптические, тепловые,
химические,
электроионизационные
и др.);
по режиму
генерации
(непрерывного или
импульсного
действия).
Первый твердотельный лазер
— рубиновый (длина волны
излучения 0,6943 нм) —
работает по трехуровневой
схеме
кристалл рубина (Al2O3 с
примесью (~0,03%) Cr3+)
Лазеры
Лазеры
Лазеры
Схема гелий-неонового лазера: 1 – стеклянная кювета со смесью гелия и
неона, в которой создается высоковольтный разряд; 2 – катод; 3 – анод; 4 –
глухое сферическое зеркало с пропусканием менее 0,1 %; 5 – сферическое
зеркало с пропусканием 1–2 %.
Свойства лазерного излучения:
1. Временная и пространственная когерентность.
Время когерентности  ~ 10−3 с, что соответствует
длине когерентности l = c ~ 105 м, что на семь
порядков выше, чем для обычных источников
света.
2. Строгая монохроматичность (∆ λ <10−11 м).
3. Большая плотность потока энергии
(характерные величины ~ 1010 Вт/м2)
4. Очень малое угловое расхождение пучка
(в 104 раз меньше, чем у традиционных оптических
осветительных систем, например у прожектора).
Вопросы выносимые на коллоквиум №2
1. Модели атома
2. Спектр атома водорода
3. Постулаты Бора и их подтверждение
4. Корпускулярно-волновой дуализм, гипотеза де-Бройля
5. Соотношения неопределенностей
6. Волновая функция и ее свойстваю Уравнение Шредингера.
7. Движение свободной частицы
8. Частица в потенциальной яме
9. Прохождение частицы через барьер. Тунельный эффект
10. Гармонический осциллятор
11. Квантовые числа
12. Спин электрона
13. Принцип неразличимости тождественных частиц. Квантовые
статистики Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака. Принцип отбора
14. Принцип Паули и заполнение электронных орбит
15. Рентгеновские спектры
16. Молекулярные спектры
17. Рассеяние. Поглощение. Лазеры.