reshx

Задача 1
Дан прямоугольный параллелепипед 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1 𝐵1 𝐶1 𝐷1 , 𝐴𝐵 = 8, 𝐴𝐷 = 21,
𝐴𝐴1 = 7√7. Точка 𝑀 лежит на отрезке 𝐵𝐶1 , точка 𝑁 лежит на отрезке 𝐵𝐷,
прямые 𝐴𝑀 и 𝐴1 𝑁 пересекаются. Определите тангенс угла между прямой 𝐷1 𝑀
и плоскостью 𝐵𝐶𝐶1 , если 𝐵𝑁: 𝑁𝐷 = 3: 7.
𝐷1
𝐶1
𝐿
𝐴1
𝐵1
𝑀
𝐷
𝑁
𝐴
𝐶
𝐾
𝐵
Решение:
У: Построим прямоугольный параллелепипед 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1 𝐵1 𝐶1 𝐷1 , как
расположена точка 𝑁?
О: Точка 𝑁 расположена на отрезке 𝐵𝐷 так, что 𝐵𝑁: 𝑁𝐷 = 3: 7.
У: Каково взаимное расположение прямых 𝐴𝑀 и 𝐴1 𝑁?
О: По условию прямые 𝐴𝑀 и 𝐴1 𝑁 пересекаются.
У: Как эти прямые расположены в пространстве?
О: Лежат в одной плоскости.
У: Какая прямая и точка этой плоскости уже построены?
О: Прямая 𝐴𝐴1 и точка 𝑁.
У: Построим сечение параллелепипеда этой плоскостью. Пересечение
какой грани с этой плоскостью можем построить?
О: В нижней грани соединим точки 𝐴 и 𝑁, точку пересечения прямых 𝐵𝐶
и 𝐴𝑁 обозначим 𝐾.
У: По какой прямой сечение пересекает плоскость боковой грани
𝐴𝐴1 𝐷1 𝐷?
О: По прямой 𝐴𝐴1 .
У: Каково будет взаимное расположение прямой 𝐴𝐴1 и прямой, по
которой плоскость 𝐴𝐴1 𝑁 пересекает плоскость 𝐵𝐵1 𝐶1 ?
О: Боковые грани 𝐵𝐵1 𝐶1 𝐶 и 𝐴𝐴1 𝐷1 𝐷 параллельны, следовательно,
прямая, по которой плоскость 𝐴𝐴1 𝑁 пересекает плоскость 𝐵𝐵1 𝐶1 , параллельна
прямой 𝐴𝐴1 .
У: Построим в плоскости 𝐵𝐵1 𝐶1 𝐶 прямую 𝐾𝐿 параллельную прямой 𝐴𝐴1 ,
точка 𝐿 – точка пересечения прямых 𝐾𝐿 и 𝐵1 𝐶1 . По какой прямой пересекаются
плоскость 𝐴𝐴1 𝑁 и плоскость верхнего основания?
О: 𝐿𝐴1 .
У: Что можно сказать о положении точки 𝑀?
О: Она принадлежит построенному сечению и, по условию, точка 𝑀
лежит на отрезке 𝐵𝐶1 . Следовательно, точка 𝑀 является точкой пересечения
построенного сечения 𝐴𝐴1 𝐿𝐾 и отрезка 𝐵𝐶1 , то есть отрезки 𝐿𝐾 и 𝐵𝐶1
пересекаются в точке 𝑀.
У: Какой угол является углом между прямой 𝐷1 𝑀 и плоскостью 𝐵𝐶𝐶1 ?
О: Угол между прямой 𝐷1 𝑀 и плоскостью 𝐵𝐶𝐶1 – это угол между прямой
𝐷1 𝑀 и её проекцией на плоскость 𝐵𝐶𝐶1 .
У: Какой отрезок является проекцией прямой 𝐷1 𝑀 на плоскость 𝐵𝐶𝐶1 ?
О: Отрезок 𝑀𝐶1 .
У: Значит, тангенс какого угла нужно найти?
О: Нужно найти тангенс угла 𝐷1 𝑀𝐶1 .
У: В каком треугольнике содержится этот угол?
О: В треугольнике 𝐷1 𝐶1 𝑀.
У: Что можно сказать об угле 𝐷1 𝐶1 𝑀?
О: Угол 𝐷1 𝐶1 𝑀 прямой.
У: Почему?
О: Прямая 𝐷1 𝐶1 перпендикулярна плоскости 𝐵𝐶𝐶1 , следовательно,
перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости, а значит и прямой
𝑀𝐶1 .
У: Как найти тангенс угла 𝐷1 𝑀𝐶1 ?
О: Треугольник 𝐷1 𝐶1 𝑀 – прямоугольный, следовательно, искомый
тангенс угла равен отношению длин отрезков 𝐷1 𝐶1 и 𝑀𝐶1 .
У: Длина какого из этих отрезков неизвестна?
О: Длина отрезка 𝑀𝐶1 .
У: Частью какого отрезка является отрезок 𝑀𝐶1 ?
О: Отрезка 𝐵𝐶1 .
У: Из подобия каких треугольников можно найти, в каком отношении
точка 𝑀 делит отрезок 𝐵𝐶1 ?
О: Из подобия треугольников 𝐵𝐾𝑀 и 𝐶1 𝐿𝑀.
У: Почему эти треугольники подобны?
О: Они прямоугольные и углы 𝐵𝑀𝐾 и 𝐶1 𝑀𝐿 равны как вертикальные.
У: Отношение длин каких сторон нужно найти?
О: 𝑀𝐶1 и 𝑀𝐵.
У: Какой отрезок имеет длину равную длине одной из соответствующих
сторон 𝐿𝐶1 ?
О: Отрезок 𝐾𝐶.
У: Значит, чему равна сумма длин соответствующих сторон 𝐵𝐾 и 𝐿𝐶1 ?
О: Длине стороны параллелепипеда 𝐵𝐶.
У: Значит, чему равно отношение, в котором точка 𝐾делит сторону 𝐵𝐶?
О: Коэффициенту подобия ∆𝐵𝐾𝑀 и ∆𝐶1 𝐿𝑀, отношению длин 𝑀𝐶1 и 𝑀𝐵.
У: Из подобия каких треугольников можно найти, в каком отношении
точка 𝐾 делит отрезок 𝐵𝐶?
О: Из подобия треугольников 𝐴𝑁𝐷 и 𝐾𝑁𝐵, так как 𝐵𝐶 = 𝐴𝐷.
У: Почему эти треугольники подобны?
О: Углы 𝐴𝑁𝐷 и 𝐾𝑁𝐵 равны как вертикальные, углы 𝑁𝐷𝐴 и 𝑁𝐵𝐾 равны
как накрест лежащие при параллельных прямых 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 и секущей 𝐷𝐵.
У: Отношение длин каких сторон нужно найти?
О: 𝐵𝐾 и 𝐴𝐷.
У: Найдем коэффициент подобия треугольников 𝐴𝑁𝐷 и 𝐾𝑁𝐵.
О: 𝑘 = 𝐵𝑁: 𝑁𝐷 = 3: 7.
У: Значит, в каком отношении точка 𝐾 делит отрезок 𝐵𝐶?
О: 𝐵𝐾: 𝐾𝐶 = 3: 4.
У: Значит, в каком отношении точка 𝑀 делит отрезок 𝐵𝐶1 ?
О: 𝐵𝑀: 𝑀𝐶1 = 3: 4.
У: Найдем длину диагонали боковой грани 𝐵𝐶1 .
О: По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника 𝐵𝐶𝐶1 :
𝐵𝐶1 = √𝐵𝐶 2 + 𝐶𝐶1 2 = √212 + (7√7)2 = 28.
У: Найдем длину отрезка 𝑀𝐶1 .
О: Так как 𝐵𝑀: 𝑀𝐶1 = 3: 4, то длина отрезка 𝑀𝐶1 составляет
4
отрезка 𝐵𝐶1 . Следовательно, 𝑀𝐶1 = 𝐵𝐶1 = 16.
7
У: Чему равен искомый тангенс угла?
О: искомый тангенс равен
𝐷1 𝐶1
𝑀𝐶1
=
8
16
1
= .
2
4
7
длины
1
Ответ: .
2