8 класс, Головастикx

Зимний «Головастик» - 2016
8 класс, воспоминания о знаниях по теории чисел.
1. Натуральные числа m и n таковы, что число m+n+1 — простое и делит
2(m2+n2)–1. Докажите, что m = n.
2. Какова максимальная длина конечной арифметической прогрессии с
разностью 6 и состоящей из простых чисел?
3. При каких целых n число an =n2+ 3n+ 1 делится на 55?
4. Существует ли натуральное число, среди натуральных делителей которого точных квадратов ровно в 2015 раз больше, чем точных кубов?
5. Трехзначное число 625 обладает своеобразным свойством самовоспроизводимости, как то 6252= 390625. Сколько четырехзначных чисел
удовлетворяют уравнению x2 x(mod 10000)?
6. Докажите, что при любом k существует ровно 4 набора из k цифр —
00...00, 00...01 и еще два, оканчивающиеся пятеркой и шестеркой,— обладающие таким свойством: если натуральное число оканчивается одним из этих наборов цифр, то его квадрат оканчивается тем же набором
цифр.
7. Найдите все натуральные n, для которых число n4+4 – простое.
8. Докажите, что при нечетных n число 2n!-1 делится на n.
8а. Найдите такие целые числа a, что a10+1 делится на 10.
9. Найдите сумму всех правильных несократимых дробей со знаменателем n.
𝟏
𝟏
𝟏
10 .Докажите, что число 𝟏 + 𝟐 + 𝟑 + ⋯ + 𝒏 не может быть целым при
n>1.
Зимний «Головастик» - 2016
8 класс, продолженеи всякого тч
11. Костя задумал натуральное число и нашел его остатки от деления на 3,
на 6 и на 9. Сумма остатков оказалась равна 15. Найдите остаток от деления
задуманного числа на 18.
12. Можно ли расставить на доске 17101 натуральные числа так, чтобы
сумма чисел в любом прямоугольнике 1×2 делилась либо на 17, либо на
101?
13. Докажите, что число m(m+1) не является степенью целого числа ни при
каком натуральном m.
14. Натуральные a,b,c,d удовлетворяют условию ab=cd. Может ли число
a+b+c+d быть простым?
15. Назовем натуральное число хорошим, если сумма обратных величин
всех его натуральных делителей – целая. Докажите, что если m – хорошее
число, а p > m – простое, то число pm не является хорошим.
16. Назовем натуральное число вредным, если оно не равно произведению
цифр никакого другого числа. Докажите, что найдется 100 последовательных вредных чисел.
17. Обозначим  ( x ) количество простых чисел, не превосходящих x. Конечно или бесконечно множество натуральных n, для которых n делится на
( x) ?
18. Имеется бесконечное количество карточек, на каждой из которых написано какое-то натуральное число. Известно, что для любого натурального
числа n существуют ровно n карточек, на которых написаны делители этого
числа. Докажите, что число карточек, на которых написано произвольное
натуральное число n равно  (n) .
19. Доказать а)  1   2     n  n 1  n 2    n n,  n - число делителей натурального числа n; б)
 1   2     n  n 1  2n 2    nn n ,
натурального числа n.
20. Докажите неравенство 𝜏𝑛 ≤ 2√𝑛.
𝜎𝑛 - сумма делителей