*

*
1. Основные элементы временного ряда.
2. Особенности изучения взаимосвязанных временных
рядов.
3. Временные ряды в статистике здравоохранения и их
характеристики.
-1-
* Временной ряд (ряд динамики) – это
совокупность значений какого- либо
показателя за несколько последовательных
моментов или периодов времени.
ФАКТОРЫ, ФОРМИРУЮЩИЕ ВРЕМЕННОЙ РЯД
1) факторы,
формирующие
тенденцию
ряда;
2) факторы,
формирующие
циклические
колебания
ряда;
3) случайные
факторы.
-1-
Реальные данные чаще всего они
содержат все три компоненты: каждый их
уровень формируется под воздействием
тенденции,
сезонных колебаний
и случайной компоненты.
yt
t
o
Рис. 3. Ряд,
содержащий
только случайную
компоненту.
yt
Рис. 1. Ряд,
содержащий
только
тенденцию.
t
o
yt
Рис. 2. Ряд,
содержащий только
сезонную компоненту.
t
o
-1-
* В большинстве случаев фактический уровень временного
ряда можно представить как сумму или произведение
трендовой, циклической и случайной компонент.
* Модель, в которой временной ряд представлен как сумма
перечисленных компонент, называется аддитивной
моделью временного ряда.
* Модель, в которой временной ряд представлен как
произведение перечисленных компонент, называется
мультипликативной моделью временного ряда.
-1-
* Основная задача эконометрического исследования
отдельного временного ряда – выявление и придание
количественного выражения каждой из перечисленных
выше компонент с тем, чтобы использовать полученную
информацию для прогнозирования будущих значений
ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или
более временных рядов.
-1-
* При наличии во временном ряде тенденции и
циклических колебаний значения каждого
последующего уровня ряда зависят от
предыдущих.
* Корреляционную зависимость между
последовательными уровнями временного
ряда называют автокорреляцией уровней
ряда.
* Количественно ее можно измерить с
помощью линейного коэффициента
корреляции между уровнями исходного
временного ряда и уровнями этого ряда,
сдвинутыми на несколько шагов во времени.
*
-1-
* Формула для расчета коэффициента автокорреляции
имеет вид:
𝑟1 =
𝑛
𝑡=2
𝑛
𝑡=2(𝑦𝑡
𝑦𝑡 − 𝑦1 (𝑦𝑡−1 − 𝑦2 )
𝑛
𝑡=2(𝑦𝑡−1
− 𝑦1 )2
− 𝑦2 )2
где
1
𝑦1 =
𝑛−1
1
𝑦2 =
𝑛−1
𝑛
𝑦𝑡 ,
𝑡=2
𝑛
𝑦𝑡−1 ,
𝑡=2
* Эту величину называют коэффициентом
автокорреляции уровней ряда первого порядка, так
как он измеряет зависимость между соседними
уровнями ряда yt и yt-1.
-1-
* Аналогично можно определить коэффициенты
автокорреляции второго и более высоких порядков.
Так, коэффициент автокорреляции второго порядка
характеризует тесноту связи между уровнями yt и yt - 2
и определяется по формуле:
𝑛
𝑡=3 𝑦𝑡 − 𝑦3 (𝑦𝑡−2 − 𝑦4 )
𝑟2 =
𝑛
2 𝑛 (𝑦
2
(𝑦
−
𝑦
)
3
𝑡=3 𝑡
𝑡=2 𝑡−2 − 𝑦4 )
где
1
𝑦3 =
𝑛−2
1
𝑦4 =
𝑛−2
𝑛
𝑦𝑡 ,
𝑡=3
𝑛
𝑦𝑡−2 ,
𝑡=3
-1-
* Число периодов, по которым рассчитывается
коэффициент автокорреляции, называют лагом.
* С увеличением лага число пар значений, по
которым рассчитывается коэффициент
автокорреляции, уменьшается.
* Считается целесообразным для обеспечения
статистической достоверности коэффициентов
автокорреляции использовать правило –
максимальный лаг должен быть не больше n| 4.
*
-1-
Свойства коэффициента корреляции
Так как коэффициент
автокорреляции
характеризует тесноту
только линейной связи
текущего и предыдущего
уровней ряда, можно
судить о наличии линейной
(или близкой к линейной)
тенденции. Для некоторых
временных рядов, имеющих
сильную нелинейную
тенденцию, коэффициент
автокорреляции уровней
исходного ряда может
приближаться к нулю.
По знаку коэффициента
автокорреляции нельзя
делать вывод о
возрастающей или
убывающей тенденции в
уровнях ряда. Большинство
временных рядов
экономических данных
содержат положительную
автокорреляцию уровней,
однако при этом могут
иметь убывающую
тенденцию.
-1-
* Последовательность коэффициентов автокорреляции
уровней первого, второго и т.д. порядков называют
автокорреляционной функцией временного ряда.
* График зависимости ее значений от величины лага
(порядка коэффициента автокорреляции) называется
коррелограммой.
* Анализ автокорреляционной функции и
коррелограммы позволяет определить лаг, при
котором автокорреляция наиболее высокая, а
следовательно, и лаг, при котором связь между
текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее
тесная, т.е. при помощи анализа автокорреляционной
функции и коррелограммы можно выявить структуру
ряда.
-1-
* Если наиболее высоким оказался коэффициент
автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд
содержит только тенденцию.
* Если наиболее высоким оказался коэффициент
автокорреляции порядка k , то ряд содержит циклические
колебания с периодичностью в k моментов времени.
* Если ни один из коэффициентов автокорреляции не
является значимым, можно сделать одно из двух
предположений относительно структуры этого ряда:
либо ряд не содержит тенденции и циклических
колебаний,
либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для
выявления которой нужно провести дополнительный
анализ.
Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и
автокорреляционную функцию целесообразно использовать
для выявления во временном ряде наличия или отсутствия
трендовой компоненты и циклической (сезонной)
-2-
* Распространенным способом моделирования тенденции временного ряда
является построение аналитической функции, характеризующей зависимость
уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим
выравниванием временного ряда.
* Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее
формализации можно использовать различные виды функций. Для построения
трендов чаще всего применяются следующие функции:
* линейный тренд:
𝑦𝑡 = 𝑎 + 𝑏𝑡
* гипербола:
𝑏
𝑦𝑡 = 𝑎 +
𝑡
* экспоненциальный тренд:
𝑦𝑡 = 𝑒 𝑎+𝑏𝑡 (или 𝑦𝑡 = 𝑎𝑏 𝑡 )
* степенная функция:
𝑦𝑡 = 𝑎𝑡 𝑏
* полиномы различных степеней:
𝑦𝑡 = 𝑎 + 𝑏1 𝑡 + 𝑏2 𝑡 2 + ⋯ + 𝑏𝑚 𝑡 𝑚
*
-2-
* Параметры каждого из перечисленных выше
трендов можно определить обычным МНК,
используя в качестве независимой переменной
время t =1, 2, ..., n, а в качестве зависимой
переменной – фактические уровни временного ряда
𝑦𝑡
* Для нелинейных трендов предварительно проводят
стандартную процедуру их линеаризации.
-2-
Способы определения типа
тенденции
Моделирование сезонных колебаний
- качественный анализ изучаемого
процесса,
- построение и визуальный анализ
графика зависимости уровней ряда
от времени,
- сравнение коэффициентов
автокорреляции уровней ряда.
Если амплитуда колебаний
приблизительно постоянна, строят
аддитивную модель временного
ряда, в которой значения сезонной
компоненты предполагаются
постоянными для различных циклов.
Если амплитуда сезонных колебаний
возрастает или уменьшается, строят
мультипликативную модель
временного ряда, которая ставит
уровни ряда в зависимость от
значений сезонной компоненты.
-2-
-2-
Выравнивание
исходного
ряда
методом
скользящей
средней
Расчет
значений
сезонной
компоненты S
Устранение
сезонной
компоненты
из исходных
уровней ряда
и получение
выровненных
данных
(T + E) в
аддитивной
или (T × E ) в
мультипликат
ивной модели
Аналитическое
выравнивание уровней
(T + E) или
(T × E ) и
расчет
значений T с
использованием
полученного
уравнения
тренда
Процесс построения модели
Расчет
полученных
по модели
значений
(T + E) или
(T × E )
Прогноз
будущих
значений
уровней
временного
ряда на
основе
построенной
модели
-3-
* При анализе временного ряда его изменчивость можно
разделить на закономерную (детерминированную) и
случайную составляющие..
* Составная часть временного ряда, остающаяся после
выделения из него закономерных (детерминированных)
компонент, представляет собой случайную, нерегулярную
компоненту.
* Если систематические компоненты временного ряда
определены правильно, что как раз и составляет одну из
главных целей при разработке моделей временного ряда, то
остающаяся после выделения из временного ряда этих
компонент так называемая остаточная последовательность
(ряд остатков) будет случайной компонентой ряда.
*
-3-
* Случайная компонента ряда обладает следующими
свойствами:
– случайностью колебаний уровней остаточной
последовательности;
– соответствием распределения случайной компоненты
нормальному закону распределения;
– равенством математического ожидания случайной
компоненты нулю;
– независимостью значений уровней случайной
последовательности, то есть отсутствием
существенной автокорреляции.
* Проверка адекватности моделей временных рядов
основана на проверке выполняемости у остаточной
последовательности указанных свойств.
* Если не выполняется хотя бы одно из них, модель
признается неадекватной.
-3-
* Один из более распространенных методов
определения автокорреляции в остатках – это расчет
критерия Дарбина-Уотсона:
𝑛
2
𝑡=2(𝜀𝑡 − 𝜀𝑡−1 )
𝑑=
𝑛
2
𝑡=1 𝜀𝑡
* Т.е. величина d есть отношение суммы квадратов
разностей последовательных значений остатков к
остаточной сумме квадратов по модели регрессии.
* Можно показать, что при больших значениях n
существует следующее соотношение между
критерием Дарбина-Уотсона d и коэффициентом
автокорреляции остатков первого порядка r1 :𝑑 ≅
2 1 − 𝑟1
Существует несколько ограничений на применение
критерия Дарбина-Уотсона.
* 1. Он неприменим к моделям, включающим в
качестве независимых переменных лаговые
значения результативного признака.
* 2. Методика расчета и использования критерия
Дарбина- Уотсона направлена только на
выявление автокорреляции остатков первого
порядка.
* 3. Критерий Дарбина-Уотсона дает достоверные
результаты только для больших выборок.
-3-
полная
положительная
автокорреляция
полная
отрицательная
автокорреляция
автокорреляция
остатков
отсутствует
r1 =1
r1 =-1
r1 = 0
d=0
d=4
d=2
-3-
* Выдвигается гипотеза
H0 об отсутствии автокорреляции остатков.
Альтернативные гипотезы H1 и H1* состоят, соответственно, в наличии
положительной или отрицательной автокорреляции в остатках.
* Далее по специальным таблицам определяются критические значения
критерия Дарбина-Уотсона dL и dU для заданного числа наблюдений n ,
числа независимых переменных модели m и уровня значимости α.
* По этим значениям числовой промежуток [0; 4] разбивают на пять
отрезков. Принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностью 1-α
осуществляется следующим образом:
• 0 < 𝑑 < 𝑑𝐿 – есть положительная автокорреляция остатков, H0 отклоняется,
с вероятностью P =1-α принимается H1 ;
• 𝑑𝐿 < 𝑑 < 𝑑𝑈 – зона неопределенности;
• 𝑑𝑈 < 𝑑 < 4 − 𝑑𝑈 – нет оснований отклонять H0 , т.е. автокорреляция
остатков отсутствует;
• 4 − 𝑑𝑈 < 𝑑 < 4 − 𝑑𝐿 – зона неопределенности;
• 4 − 𝑑𝐿 < 𝑑 < 4 – есть отрицательная автокорреляция остатков, H0
отклоняется, с вероятностью P =1-α принимается H1* .
* Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в зону
неопределенности, то на практике предполагают существование
автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу H0 .
*