Автокорреляция

АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ УРОВНЕЙ ВРЕМЕННОГО РЯДА
При наличии тенденции и циклических колебаний значения каждого
последующего уровня ряда зависят от предыдущих значений.
Корреляционную зависимость между последовательными уровнями
временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.
Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента
корреляции между уровнями исходного временного ряда yt и уровнями этого
ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени yt-.
Число
периодов,
по
которым
рассчитывается
коэффициент
автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений,
по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается.
Максимальный лаг должен быть не больше (n/4).
Коэффициент
автокорреляции
уровней
ряда
первого
порядка,
измеряющий зависимость между соседними уровнями ряда yt и yt-1, т.е. при
лаге 1, рассчитывается по формуле:
n
 y
r1 
t 2
t
n
 y1    y t 1  y 2 
t 2
n
где y1 
y
t 2
n
2
  yt  y1     yt 1  y 2 
2
,
t 2
n
t
n 1
;
y2 
y
t 2
t 1
.
n 1
Аналогично определяются коэффициенты автокорреляции второго и
более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго
порядка характеризует тесноту связи между уровнями yt и yt-2 и определяется
по формуле:
n
r2 
 y
t 3
n
 y
t 3
t
 y3    yt 2  y 4 
t
n
 y3    ( yt 2  y 4 )
2
t 3
2
,
n
где y 3 
y
t 3
n
t
n2
;
y4 
y
t 3
t 2
n2
.
Коэффициент автокорреляции характеризует тесноту только линейной
связи текущего и анализируемого уровней ряда. Поэтому по коэффициенту
автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к
линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную
нелинейную тенденцию (например, параболу или экспоненту), коэффициент
автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого,
второго и т. д. порядков называют автокорреляционной функцией
временного ряда. График зависимости ее значений
от величины лага
называется коррелограммой.
При помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы
можно выявить структуру ряда.
Анализ структуры ряда можно проводить следующим образом:
 если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого
порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию;
 если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка τ,
ряд содержит циклические колебания с периодичностью в τ моментов
времени;
 если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым,
можно сделать одно из предположений относительно структуры ряда:
 ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, а включает
только случайную компоненту,
 ряд содержит сильную нелинейную тенденцию.
2003
2004
2005
2006
19,2
18,4
17,3
2001
17
15,2
2000
12,2
2002
1999
7
гг.
16,1
1998
1997
14,8
4,7
1996
1995
5,9
8,8
1994
1993
20,1
12
1992
Урожайность,
ц/га
15,4
Год
Пример. Динамика урожайности зерновых культур за 1996-2006
характеризуется данными (ц/га), представленными в табл. 1.
Таблица 1 - Урожайность зерновых культур за 1992-2006 гг.
Требуется:
1. Построить автокорреляционную функцию временного ряда.
2. Охарактеризовать структуру этого ряда.
Решение:
1. Расчет коэффициента автокорреляции первого порядка для временного
ряда урожайности зерновых культур произведем в таблице 2.
Таблица 2 - Расчет коэффициента автокорреляции первого порядка
t
yt
y t 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Итого
15,4
20,1
12
5,9
8,8
14,8
4,7
7
12,2
17
16,1
15,2
19,2
18,4
17,3
188,7*
15,4
20,1
12
5,9
8,8
14,8
4,7
7
12,2
17
16,1
15,2
19,2
18,4
186,8
y t  y1
6,62
-1,48
-7,58
-4,68
1,32
-8,78
-6,48
-1,28
3,52
2,62
1,72
5,72
4,92
3,82
0,00
yt 1  y 2
2,06
6,76
-1,34
-7,44
-4,54
1,46
-8,64
-6,34
-1,14
3,66
2,76
1,86
5,86
5,06
0,00
 yt  y1    yt 1  y2 
13,621
-9,991
10,177
34,822
-6,003
-12,792
55,993
8,110
-4,024
9,587
4,746
10,626
28,826
19,326
163,023
( y t  y1 ) 2
43,8433
2,1862
57,4347
21,8890
1,7462
77,0633
41,9719
1,6347
12,4005
6,8719
2,9633
32,7347
24,2205
14,6033
341,5636
*) Сумма приведена без значения 15,4 (затемненная ячейка).
Средние y1 , y2 составят:
20,1  12  5,9  ...  18,4  17,3 188,7

 13,48;
14
14
15,4  20,1  12  ...  19,2  18,4 186,8
y2 

 13,34.
14
14
y1 
( y t 1  y 2 ) 2
4,2318
45,6590
1,8033
55,3961
20,6376
2,1233
74,6990
40,2318
1,3061
13,3747
7,6018
3,4490
34,3061
25,5747
330,3943
Коэффициент автокорреляции первого порядка:
r1 
163,023
341,56  330,39
 0,485.
Полученное значение свидетельствует об отсутствии зависимости между
урожайностью зерновых культур текущего и непосредственно предшествующего
годов.
Расчет коэффициента автокорреляции второго порядка для временного ряда
урожайности зерновых культур произведем в таблице 3.
Таблица 3 - Расчет коэффициента автокорреляции второго порядка
t
yt
yt 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Итого
15,4
20,1
12
5,9
8,8
14,8
4,7
7
12,2
17
16,1
15,2
19,2
18,4
17,3
168,6*
15,4
20,1
12
5,9
8,8
14,8
4,7
7
12,2
17
16,1
15,2
19,2
168,4
yt 2  y 4
2,45
7,15
-0,95
-7,05
-4,15
1,85
-8,25
-5,95
-0,75
4,05
3,15
2,25
6,25
0,00
yt  y3
-0,97
-7,07
-4,17
1,83
-8,27
-5,97
-0,77
4,03
3,13
2,23
6,23
5,43
4,33
0,00
 yt  y3    yt 2  y 4 
-2,371
-50,518
3,977
-12,914
34,349
-11,020
6,349
-23,999
-2,360
9,026
19,603
12,198
27,051
9,372
( yt  y3 ) 2
0,9394
49,9740
17,3825
3,3517
68,3802
35,6317
0,5917
16,2471
9,8017
4,9763
38,8225
29,4933
18,7556
294,3477
( yt 2  y 4 ) 2
5,9837
51,0675
0,9098
49,7567
17,2544
3,4083
68,1260
35,4483
0,5683
16,3714
9,8983
5,0452
39,0144
302,8523
*) Сумма приведена без значений 15,4 и 20,1 (затемненные ячейки).
Средние y3 , y 4 составят:
12  5,9  8,8  ...  18,4  17,3 168,6

 12,97;
13
13
15,4  20,1  12  ...  15,2  19,2 168,4
y4 

 12,95.
13
13
y3 
Коэффициент автокорреляции второго порядка:
r2 
9,372
 0,031.
294,35  302,85
Коэффициенты автокорреляции третьего и четвертого порядков рассчитаем в
среде Excel с помощью функции КОРРЕЛ при соответствующем выборе
диапазона значений.
Получаем r3=0,115 и r4=0,251.
Построим автокорреляционную функцию и коррелограмму временного ряда
(табл. 4.6).
Таблица 4 - Автокорреляционная функция и коррелограмма ВР
Лаг
Коэффициент автокорреляции
уровней
Коррелограмма
1
0,485
*****
2
0,031
*
3
0,115
*
4
0,251
***
При анализе временного ряда урожайности зерновых культур наиболее
высоким оказался коэффициент автокорреляции уровней первого порядка.
Следовательно, исследуемый ряд содержит только тенденцию.