Приложение 4 Задачи этапа «Атолл деления с остатком». «Бронзовая задача» Возле корабля пират

Приложение 4
Задачи этапа «Атолл деления с остатком».
«Бронзовая задача»
Возле корабля пират
Свой выстраивал отряд,
Очень стройная колонна:
По пять ровно каждый ряд.
По два, по три, по четыре
Как ни ставил командир,
Неизменно оставался
Лишним кто-нибудь один.
А сейчас в любой пятерке
Все довольны, все в восторге!
Ну а сколько же пиратов
Не в ряду, а в целом?
Свой расчёт произведи
С правильным прицелом.
(Учтите, что в пиратской колонне меньше, чем 10 рядов)
Решение:
Общее количество пиратов в отряде при делении на 2, 3 и 4 даёт остаток 1, а на 5 делится
нацело. Тогда общее количество пиратов, уменьшенное на 1, делится нацело на 2. 3 и 4, а
при делении на 5 даёт остаток 4. Наименьшее общее кратное чисел 2,3 и 4 – это12. Значит,
нам надо выбирать из чисел 12, 24, 36 и 48 (так как всего пиратов меньше, чем 50). Но
увеличенное на 1 это число должно делится на 5 нацело. Значит, пиратов было 24
человека.
«Серебряная задача»
Остаток от деления числа a на 17 равен 4. Найдите остаток от деления на 17 числа
7 a  a 2 . Проверьте результат при a  4; a  21 .
Решение:
Запишем равенство, выражающее деление с остатком числа a на 17: a  17 z  4 , где z
- целое число. Тогда 7a  a 2  a  7  a   17 z  4  7  17 z  4  17   17 z 2  z  12 . Так
как z - целое число, то и число  17 z 2  z - целое.
Значит, число 7 a  a 2 при делении на 17 дает остаток, равный 12.
Проверка при a  4 : 7a  a 2  12  17  0  12 .
Проверка при a  21 : 7a  a 2  294  17   18  12 .




«Золотая задача»
Доказать, что если p – простое число и p не меньше 5, то остаток от деления числа p 2 на
12 равен 1.
Решение:
p 2  12a  1
p 2 1  12a
( p  1)( p  1)  12a
Так как p – простое число, следовательно, оно нечетное, а значит, (p+1) и (p-1) четные.
Значит, их произведение делится на 4. Так как p – простое, то оно не делится на 3, а
значит или (р+1), или (р-1) делятся на 3. Так как произведение делится на 4 и на 3, значит,
оно делится на 12.