1 - БГПУ им.М.Акмуллы

ФГБОУ ВПО «БГПУ» им. М. Акмуллы
Центр развития одаренности школьников
9 класс
1. Найти значения
, ,
для которых выполняется равенство:
Решение:
4 х 2  4 х  1  9 у 2  6 у  1  16 z 2  8 z  1  0
(2 x  1) 2  (3 y  1) 2  (4 z  1) 2  0
1

x

2
2 x  1  0

1

3 y  1  0   y 
3
4 z  1  0

1

z 
4

1 1 1
Ответ: ( ; ; )
2 3 4
2. Упростить:
Решение:
а3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3ab(a + b) – 3abc = (a + b + с)((a + b)2 – (a + b)c +
c2) – 3ab(a + b + с) = (a + b + с)(a2 + b2 + c2 – ab – aс – bс).
а 3  в 3  с 3  3авс
(а  в  с)( а 2  в 2  с 2  ав  ас  вс)

 авс
а 2  в 2  с 2  ав  ас  вс
а 2  в 2  с 2  ав  ас  вс
Ответ: a + b + с
3. Основания трапеции
и . В трапеции проведен отрезок, параллельный
основаниям и делящий площадь трапеции на равные части. Найти длину этого
отрезка.
Решение:
ABCD – трапеция, ВС=а, AD=b, MN || AD, SAMND=SMBCN, MN=?
Пусть MN=x, BB2=h, BB1=h1 тогда
SAMND=0,5(b+x)(h-h1)=0.5(x+a)h1, т.е.
(h-h1)(b+x)=(x+a)h1;
h(b+x)=(a+b+2x)h1
SABCD= SAMND + SMBCN, т.е.
0.5(a+b)h=(b+x)(h-h1)+0.5(x+a)h1
или (a+b)h=(b+x)h+(a-b)h1
(a-x)h=(a-b)h1
(a  b)h  (a  b  2 x)h1
Получим систему уравнений: 
 (a  x)h  (a  b)h1
(a-x)(a+b+2x)=(b+x)(a-x)
a2+ab+2ax-ax-bx-2x2=ab+ax-b2-bx
a2 -2x2 + b2=0
2x2 = b2+ a2
x2= (b2+ a2):2
х
а2  в2
2
Ответ:
4. Доказать, что при всяком нечетном
выражение
а2  в2
2
делится на
512.
Решение:
n12  n 8  n 4  1  n 8 (n 4  1)  (n 4  1)  (n 4  1)( n 8  1) 
 (n 2  1)( n 2  1)( n 4  1)( n 4  1)  (n  1)( n  1)( n 2  1)( n 2  1)( n 2  1)( n 4  1) 
 (n  1)( n  1)( n  1)( n  1)( n 2  1)( n 2  1)( n 4  1)
512=8·8·8
Из двух последовательных четных чисел (n-1)(n+1) одно делится на 4, а их произведение
делится на 8. Значит, (n-1)(n+1)(n-1)(n+1) делится на 64. А так как, n2+1, n2+1 и n4+1
числа четные, значит каждая сумма делится на 2, а значит и на 8. Следовательно,
делится на 512.
Что и требовалось доказать.
5. Найти наименьшее значение функции:
Решение:
x2 1 x2 1 2
2
y 2

 1 2
2
x 1
x 1
x 1
Так как x 2  1 при любых х положительно, то наименьшее значение выражения
2
равно 1. Значит наименьшее значение функции равно 0.
х 1
2
Ответ: 0
6. Решите систему уравнений:
Решение:
 2( x  y )  1,2( z  y )
 10 x  10 y  6 z  6 y
 xyz  2( x  y )
10 x  6 z  4 y




 xyz  1,2( z  y )   2( x  y )  1,5( z  y )   4 x  4 y  3 z  3 y   y  3 z  4 x 
 xyz  1,5( x  z )
1,2( z  y )  1,5( x  z )
12 z  12 y  15 x  15 z
 z  4 y  5x




10 x  24 y  30 x  4 y
 40 x  20 y
 2x  y
 y  2x




y  3z  4 x
  y  3z  4 x   y  3z  4 x   y  3z  4 x


z  4 y  5x
 z  8x  5x
 z  3x
z  4 y  5x




x  2 x  3x
2
x  2x
6x3
2
3x
x2  1
x  1
y  2
z  3
Ответ: (1;2;3), (-1;-2;-3).
7. Известно, что
. Найдите значение выражения
2а 4в 2а

4
2а  4в
2а
в  в
Решение:
 в

4
в
в
1
в
в
2а
2а
а 11
 4  7,
 11, 
в
в
в 2
.
2а 3в 2а

3
2а  3в
3
3в
6
6
в  в
 в
 2  2
 2  2
а
а
а
а
а
11
11
в
в
в
Ответ: 2
8. Найдите остаток от деления числа
6
11
на
Решение: найдем последнюю цифру числа а  16913  16 256
Последние цифры числа 169к повторяются через два шага, то есть
91=9
92=81
93=729
94=6561
95=59049
…………
Поэтому последняя цифра у числа 16913 такая же как и у числа 91=9 (13=2·6+1)
Аналогично, последняя цифра у числа 16256 такая же как и у 161, то есть 6
161=16
162=256
163=1096
…………
Следовательно, последняя цифра у числа а такая же, как и у суммы 6+9=15, то есть 5.
Найдем остаток отделения числа а на 85. Заметим, что остатки от деления на 85 вида
169к повторяются через 2 шага, поэтому остаток от деления 16913 на 85 равен остатку
от деления на 85 числа 169, то есть 84.
Аналогично, остаток от деления числа 16256 на 85 повторяются через 2 шага и равен 16.
Следовательно, остаток от деления числа а на 85 равен остатку от деления на 85
суммы 16+84=100, то есть равен 15.
Ответ: 15
9. Решите уравнение:
Решение:
(х2-12х+27)(х2+8х+12)=56х2
х4-4х3-113х2+72х+324=0
делители свободного члена 324: ±1,±2, ±3, ±4 ±6, ±9…
х=2
16-32-452+144+324=0, значит х=2 корень
х=-9
6561+2916-9153-648+324=0, значит х=-9 корень
Разделим х4-4х3-113х2+72х+324 на х2-7х-18 получим х2-11х-18, то есть
х4-4х3-113х2+72х+324=(х-2)(х+9)( х2-11х-18)
(х-2)(х+9)( х2-11х-18)=0
х-2=0 или х+9=0 или х2-11х-18=0
х=2
х=-9
х
 11  193
2
Ответ: -9; 2;
 11  193
2
10. До какого веса надо выпарить 800г десяти процентного раствора соли, чтобы
довести ее содержание до шестнадцати процентов?
Решение: в 800гр раствора 800·10:100=80гр соли
80·100:16=500 гр раствора
Ответ: 500
ВЫПОЛНИЛ
Фамилия Давлетшин
Имя Ильдар
Отчество Флюрович
Класс 9а
Школа МОБУ СОШ № 2
Город (село) Бижбуляк
Район Бижбулякский
Ф.И.О. учителя Алексеева Елена Юрьевна