Второй (муниципальный) этап Всероссийской олимпиады школьников по математике

Второй (муниципальный) этап Всероссийской олимпиады школьников по математике
Ханты – Мансийского автономного округ– Югра
2009 - 2010 учебный год
9 класс
Уважаемый участник олимпиады!
Городская (районная) олимпиада по математике проводится в один тур. Задание
содержит собой 5 задач различного уровня сложности.
Максимальное число баллов - 35. Время выполнения заданий – 240 минут.
Никаких особых требований по оформлению работы Вам не предъявляется.
Форма изложения решения задач, а также способы решения могут быть любыми. Если у
Вас есть какие-либо отдельные соображения по поводу той или иной задачи, но до конца
решение Вы довести не можете, не стесняясь, излагайте все свои мысли. Даже частично
решенные задачи будут оценены соответствующим числом баллов.
Начинайте решать более легкие на Ваш взгляд задачи, а затем переходите к
остальным. Так Вы сэкономите время работы.
Желаем Вам успехов!
Задачи
9.1.(7баллов). Вычислить сумму дробей
1
1
1


, если
х  ху 1 у 1 уz
z 1 zx
произведение переменных xyz = 1.
9.2..(7баллов). Найдите действительные корни уравнения (х + 2) 4 + х 4 = 82.
9.3. (7баллов). В ∆ ABC угол ABC равен 60º. Внутри треугольника взята точка Р так,
что углы АРВ, ВРС и СРА равны 120º. Известно, что АР = а. Найдите площадь ∆ BРC.
9.4..(7баллов). При каких значениях параметра р разность корней уравнения
px + x – 2 = 0 равна 3?
2
9.5.(7баллов). В гостиницу приехал путешественник. Денег у него не было. Он
имел серебряную цепочку, состоящую из 7 звеньев. За каждый день пребывания в
гостинице он расплачивался одним звеном цепочки. Хозяин предупредил, что согласен
взять не более одного распиленного звена, а остальные должны быть целыми. Как
путешественнику распилить цепочку, чтобы прожить в гостинице неделю и ежедневно
расплачиваться с хозяином?
1
Ответы и решения
9.1. Вычислить сумму дробей
1
1
1
, если произведение


х  ху 1 у 1 уz
z 1 zx
переменных xyz = 1.
Ответ: 1.
Решение. Преобразуем дроби так, чтобы знаменатели каждой дроби были равны и
содержалось произведение xyz. Для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на х, а
третьей - на xy. Получим:
1
х
ху
1
х
ху
1 х  ху






 1.
х  ху 1 ху  х  хуz
хуz  ху  zxхx х  ху 1 х  ху 1 1 ху  х 1 х  ху
9.2. Найдите действительные корни уравнения (х + 2) 4 + х 4 = 82.
Ответ: - 3 и 1.
Решение. Обозначим х + 1 = у, тогда х + 2 = у + 1, х = у – 1. Исходное уравнение примет
вид (у + 1) 4 + (у – 1) 4 = 82.
у 4 + 6у 2 – 40 = 0, откуда у 2 = - 10 (это уравнение не имеет корней) или у 2 = 4. Тогда у
= - 2 или у = 2. Следовательно, х + 1 = - 2 или х + 1 = 2.
В итоге получаем корни 1 и – 3.
9.3. В ∆ ABC угол ABC равен 60º. Внутри треугольника взята точка Р так, что углы АРВ,
ВРС и СРА равны 120º. Известно, что АР = а. Найдите площадь ∆ BРC.
Ответ:
а2 3
4
Решение.
А
Треугольники АРВ и СРА подобны по двум углам. Учитывая, что
 АВР = 60º.-  ВАР =  РАС. Следовательно,
Р
В
откуда ВР ·СР = АР 2 = а2. Площадь ∆ BРC =
С
ВР АР

,
АР СР
1
ВР ·СР sin 60º =
2
а2 3
/
4
9.4. При каких значениях параметра р разность корней уравнения
px2 + x – 2 = 0 равна числу 3?
2
Ответ: р  
1
; р 1 .
9
Решение. Пусть корни исходного уравнения х1 и х2. Применяя теорему Виета, запишем
систему уравнений
1

 х1  х2   р , (1)

2

(2)
 х1 х2   ,
р

 х1  х2  3
(3).


Решая первое и третье уравнения системы
1

3 р 1
3р  1
 х1  х2   ,
р получим х1 
,
, х2 

2
р
2
р
х  х  3 .
 1 2
и, подставив эти выражения во второе
уравнение, получим равенство 9р2 – 8р – 1 = 0, откуда р  
1
; р 1 .
9
9.5. В гостиницу приехал путешественник. Денег у него не было. Он имел серебряную
цепочку, состоящую из 7 звеньев. За каждый день пребывания в гостинице он расплачивался
одним звеном цепочки. Хозяин предупредил, что согласен взять не более одного распиленного
звена, а остальные должны быть целыми. Как путешественнику распилить цепочку, чтобы
прожить в гостинице неделю и ежедневно расплачиваться с хозяином?
Решение. Если распилить третье звено, то цепочка распадается на три части: 1, 2 и 4
звена. С их помощью удается расплатиться, так как хозяин может давать сдачу звеньями, которые
он получил раньше.
3