Функциональные ряды

www.themegallery.com
Знакочередующиеся ряды
Пусть имеется последовательность чисел {b1, b2, b3, …, bn, …}, такая,
что n bn > 0. Рассмотрим ряд
b1 - b2 + b 3 -
…(-1)n-1
bn +…=

 (1)
k 1
k 1
bk
.
(7)
Определение. Ряд (7) называется знакочередующимся если его
положительные и отрицательные члены строго чередуются.
Теорема 12. (Признак Лейбница, сходимости знакочередующихся
рядов) Если члены знакочередующегося ряда (7) удовлетворяют условиям:
bn  0 убывают по абсолютной величине; 2)
(или: 1) монотонно
,)
bn  0
то ряд (7) сходится, причем его сумма S положительна и неnlim
превосходит

первого члена ряда.
Company Logo
www.themegallery.com
Знакопеременные ряды

Определение. Знакопеременный ряд  a k  называется
k 1
| ak |

абсолютно сходящимся, если сходиться ряд
k 1
составленный из модулей его членов.
Теорема 13. (Достаточный признак сходимости знакопеременного
ряда) Если сходиться ряд  | ak | , то сходится и

k 1
a
ряд  k , причем абсолютно.
k 1
Определение. Знакопеременный ряд называется условно
сходящимся, если он сходиться, но абсолютно не сходится.
Company Logo
www.themegallery.com
Функциональные ряды
Пусть дана последовательность функций {u1(x), u2(x), u3(x), …,
un(x), …}, определенных на некотором множестве X.
Определение. Выражение
u1(x) + u2(x) + u3(x) +…+ un (x) + …
называется функциональным
обозначается
(1)
рядом относительно переменной x
и

 u ( x).
k 1
При этом:
k
u1(x), u2(x), u3(x), … – называются членами ряда;
un (x) – называют общим членом ряда (или
n-м членом
ряда).
Определение. Совокупность D  X всех значений переменной x, для
которых ряд сходится, называется областью сходимости данного
функционального ряда. Если D = , то ряд расходится в каждой точке
множества X.
Company Logo
www.themegallery.com
Функциональные ряды
Определение. Конечная сумма
Sn (x) = u1(x) + u2(x) + u3(x) +…+ un (x)
называется n-ой частичной суммой функционального ряда.
Функция
называется суммой ряда. Функция
S ( x)  lim Sn ( x)
n
rn ( x)  S ( x)  Sn ( x) 
называется n-м остатком ряда.

 u ( x)
k  n 1
k
Определение. Сходимость функционального ряда в каждой точке x  D
называется поточечной сходимостью. Функциональный ряд (1) называется
абсолютно сходящимся на
множестве D1  X, если в каждой точке этого

множества сходиться ряд
если он сходится ,а ряд
 u ( x)
k 1
. Ряд (1) называется условно сходящимся,
k

 u ( x)
k 1
k
расходится.
Company Logo
www.themegallery.com
Равномерная сходимость ф р
Определение. Функциональный ряд (1) называется равномерно
сходящимся на множестве D к функции S(x), если для любого  > 0
существует номер N() не зависящий от x, такой что при всех n  N()
будет выполняться неравенство |S (x) – Sn (x)| <  для всех x  D, здесь
S (x) – сумма функционального ряда, Sn (x) – его частичная сумма.
Теорема.
(Достаточный
признак
равномерной
сходимости
Вейерштрасса) Если члены ряда (1) удовлетворяют неравенствам
|un (x)|  an ,n  N,  x  D
и ряд

a
k 1
k
(2)
, ak  0, сходится, то функциональный ряд (1) сходится
равномерно в области D.
Company Logo
www.themegallery.com
Равномерная сходимость ф р
Определение. Функциональный ряд (1) называется равномерно
сходящимся на множестве D к функции S(x), если для любого  > 0
существует номер N() не зависящий от x, такой что при всех n  N()
будет выполняться неравенство |S (x) – Sn (x)| <  для всех x  D, здесь
S (x) – сумма функционального ряда, Sn (x) – его частичная сумма.
Определение. Сходимость функционального ряда в каждой точке x
 D называется поточечной сходимостью. Функциональный ряд (1)
называется абсолютно сходящимся на множестве D1  X, если в
каждой точке этого множества сходиться ряд S ( x)  lim Sn ( x) . Ряд (1)
n
называется условно сходящимся, если он сходится ,а ряд
расходится.
Company Logo
www.themegallery.com
Свойства равномерно сходящихся рядов
1. (о непрерывности суммы ф р) Если на множестве D функциональный
ряд (1) с непрерывными членами сходится равномерно, то его сумма S
(x) непрерывна на D.
2. (о почленном интегрировании ф р) Если функциональный ряд (1) с
непрерывными членами на (a, b) сходится к функции S (x) равномерно
на [a, b], то его можно почленно интегрировать на любом отрезке [c, d]
 (a, b) т.е.
d
 d
 S ( x)dx    u ( x)dx,
c
Причем ряд
 d
  u ( x)dx
n 1 c
n
n 1 c
n
сходится равномерно на [a, b].
Company Logo
www.themegallery.com
Свойства равномерно сходящихся рядов
3.
почленном
(о
функциональный
дифференцировании
ряд
(1)
с
ф
непрерывно
р)
Если
дифферен-
цируемыми на [a, b] членами сходится к функции S(x), а
ряд

 u  ( x) сходится равномерно на [a, b], то исходный ряд
n 1
n
(1) сходится равномерно на [a, b], его сумма S(x) –
непрерывно дифференцируемая функция и справедливо
равенство

S ( x)   un ( x)
n 1
или
 
  
  un ( x)    un ( x).
 n1
 n1
Company Logo
LOGO
Спасибо за внимание