ОПРЕДЕЛЕННЫЙ И НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ.

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ И
НЕСОБСТВЕННЫЙ
ИНТЕГРАЛЫ.
Определенный интеграл.
Определенным интегралом функции
n
y=f(x) на [a,b] называется
lim
 f    x ,
max xi 0
i 1
 n  
i
i
если этот предел существует и не зависит от
способа разбиений [a,b] на xi и от выбора
точек  i . Определенный интеграл
b
обозначается:
 f ( x)dx. Числа a и b
a
называются соответственно нижним и верхним
пределами интегрирования.
Геометрический смысл
определённого интеграла.
y
y=f (x)
.
0 x0=a x1 x2 xi-1 xi
b
S
xn=b
 f ( x)dx
a
b
Свойства определённого
интеграла.
a
a
2.  f ( x)  0
1.  f ( x)dx   f ( x)dx
a
a
b
b
a
a
b
a
3.  kf ( x)dx  k  f ( x)dx, k-любое число
b
4.  ( f1 ( x)  f 2 ( x)  ...  f n ( x))dx   f1 ( x)dx 
a
b
b
a
a
a
  f 2 ( x)dx  ...   f n ( x)dx
5.Аддитивность определённого интеграла. Для
любых чисел a,b,c справедливо:
b
c
b
a
a
c
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
Формула Ньютона-Лейбница.
Если F(x) есть какая-либо первообразная
от непрерывной на [ a, b] функции f(x), то
справедлива формула
Ньютона-Лейбница:
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a)
a
Пример.
0, 5

0
dx
1 x
2
 arcsin x
0,5
0
 arcsin 0,5  arcsin 0 

6
Замена переменной в
определённом интеграле.
1

0

2

2
1
1  x dx   cos tdt   (1  cos 2t )dt 
2
0
0

2
2
2
1
1

 (t  sin 2t ) 
2
2
4
0
x  sin t
t  arcsin x
x
0
t
0

1
2
Интегрирование по частям в
определённом интеграле.
b
b
udv

u

v

vdu


a
b
a
a
Пример.

 x  cos xdx  x  sin x
0
u  x, cos xdx  dv
du  dx, v  sin x

0


  sin xdx  cos x 0  2
0
Геометрические приложения
определенного интеграла.
y
y=-f(x)
0
b
b
S 

a
f ( x) dx
x
y=f(x)
y
y=f(x)
y=( )
a
0
b
b
x
S    f ( x)   ( x)dx
a
y
y=e
x
1
1
0
x
y=-x2
3 1
1
x
1
2
S   (e  x )dx  (e  )  e  1   e 
3 0
3
3
0
x
2
x
Площадь криволинейной
трапеции, ограниченной кривой,
заданной параметрически.
 x  x(t ), где

 y  y (t )
  t   , x( )  a, x(  )  b,


x(t), y(t), x’(t), y’(t) – непрерывны на  ,  .

S   y(t )  x' (t )dt

y
0 a
b
x
Пример.
Найти площадь фигуры, ограниченной осью OX и одной аркой
циклоиды:x=a (t-sin t), y= a (1-cos t).
y
2
2
0
0
2a x
0
S   a  (1  cos x)  a  (t  sin t )' dt  a 2  (1  cos t ) 2 dt 
2
a
2
 (1  2 cos t  cos
2
t )dt  a (t  2 sin t )
2
2
0

0
2
2
1
a
1
 a 2  (1  cos 2t )dt  a 2  2  (t  sin 2t )
20
2
2
2
a
 2  a 2 
 2  3a 2
2
2
0

Вычисление длины дуги
кривой.
Пусть кривая задана уравнением y=f(x),
где f(x) и f’(x) непрерывны на [a, b].
b
l   1  ( f ' ( x)) dx
2
a
Пусть кривая задана в параметрической
форме x=x(t), y=y(t), t   ,  , причём x(t),
y(t), x’(t)  0, y’(t) непрерывны на  ,  ,
 
 
x( )  a, x(  )  b.

l   ( x' (t ))  ( y' (t )) dt
2

2
Несобственный интеграл.
b
Если существует конечный lim
b
 f ( x)dx
a
(b>a), то этот предел называется
несобственным интегралом функции f(x)
на промежутке [a;  ) и обозначают


a
f ( x)dx.
b


b
f ( x)dx  lim
a  
 f ( x)dx
a

c



c
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
Пример.

dx

b
arctgx 0  lim arctgb  arctg 0 
0 1  x 2  blim

b
2
Функции нескольких
переменных.
Определение
Функцией двух переменных называется правило, по
которому каждой упорядоченной паре чисел (x;y),
принадлежащей множеству M, ставится в соответствие
единственное действительное число z,
принадлежащее множеству L. Множество M
называется областью определения функции.
Множество L называется областью значения функции
при условии, что каждое z L соответствует хотя бы
одной паре (x;y) M.
Функцию двух переменных обозначают: z=f(x; y).


Частные производные.
Частные производные по x.
f ( x0  x, y0 )  f ( x0 , y0 )
xz
Предел lim
,
 lim
x0
x0 x
x
если он существует, называется частной
производной (I порядка) функции z=f(x,y)
по x в точке ( x0 , y0 ) и обозначается:
z
( x0 , y0 ); f ' x ( x0 , y0 ) ;
x
f
( x0 , y 0 ) .
x
Частные производные по y.
yz
f ( x0 , y0  y)  f ( x0 , y0 )
lim
 lim
y 0
y 0 y
y
называется частной производной
(I порядка) функции z=f(x,y) по y в точке
( x0 , y0 ) и обозначается:
z

f
( x0 , y 0 ) ; f ' y ( x 0 , y 0 ) ;
( x0 , y0 ) .
y
y
Частные производные высших
порядков.
 z 


2
 x    z
2
x
x
 z 
 
2
 x    z
y
xy
Пример.
2 3
z  x y. Вычислить частные производные
II порядка функции.
2
2
z

z
3
2
2  z
3  z
2
 2x  y ,
 3x  y ,
 2y , 2  6 x  y ,
2
x
y
x
y
 z
 z
2
2
 6xy ,
 6xy .
xy
yx
2
2
Полный дифференциал.
z
z
dz   dx   dy
x
y
Скалярное поле.
Часть пространства или всё пространство, в каждой точке
p(x,y,z) которого задана скалярная функция
U=F(x, y, z)=F(p), называется скалярным полем, а функция
U= F(p) называется функцией поля.
Пример.
2
Найти полный дифференциал функции z  x y в
произвольной точке.
z
z
2
y ,
 2 xy .
x
y
Следовательно
dz  y dx  2 xydy.
2
Производная по направлению.
y

M
0
M1
y

x
P
l0
l
x
z z
z
 cos   cos 
y
l x
Градиент
u
u
u
gradU   i   j   k
x
y
z
Экстремумы функции двух
переменных.
Необходимое условие
существования экстремума.
Пусть функция z=f(x, y) в точке P0 ( x0 , y 0 )
имеет экстремум и пусть существует
f ' x ( x0 , y0 ) и f ' y ( x0 , y0 ) .
Тогда f ' x ( x0 , y0 )  0, f ' y ( x0 , y0 )  0.
Достаточное условие
существования экстремума.
Пусть для функции z=f(x, y) в критической точке
P0 ( x0 , y0 ) существуют производные f xx " ( P0 ) , f yy " ( P0 ) ,
f xy " ( P0 ). Выражение f xx " ( P0 )  f yy " ( P0 )  [ f xy " ( P0 )]2  ( P0 )
назовём дискриминантом функции z=f(x, y) в точке
P0 ( x0 , y0 ) .
Возможны три случая:
1) ( P0 ) >0 , тогда точка P0 – точка экстремума:
при f xx " ( P0 ) >0 – точка минимума;
при f xx " ( P0 ) <0 – точка максимума.
2) ( P0 )<0, тогда P0 не является точкой экстремума.
Пример исследовать на экстремум функцию
f ( x, y)  x  3xy  15x  12 y
3
2
Решение. f  3x  y  15 ; f  6 xy  12.
'
x
Решая систему
2
2
 f x'  0
 '
 f y  0
'
y
получим четыре
стационарные точки P1 (1,2); P2 (2,1);
P3 (1,2); P4 (2,1).
Продолжение примера.
Проверим достаточное условие экстремума
в каждой из точек.
f xx"  6 x; f xy"  6 y ; f yy"  6 x.
  A  C  B .2
1) Для точки P1 (1,2): A  f xx" ( P1 )  6 ;
B  f xy" ( P1 )  12 ; C  f yy" ( P1 )  6 ;   6  6  12 2  0.
Значит, в точке P1 экстремума нет.
1) Для точки P2 (2,1) :   0 , A  0 .
В точке P2 функция имеет минимум.
f min  f ( P2 )  28
Аналогично, проверяют точки P3 и P4 .