Lektsii_variatsiyaNov

Тема 7. Показатели вариации признака
Вопросы:
1. Понятие вариации признака. Система
показателей вариации и порядок их
расчета.
2. Дисперсия и ее математические
свойства.
3. Дисперсия альтернативного признака
4. Виды дисперсий. Правило сложения
дисперсий и его использование в
анализе связи.
Вариация – это количественные различия
уровней признака у отдельных единиц
совокупности.
Абсолютные показатели вариации:
№
Показатель
1
Размах вариации
2
Среднее линейное
отклонение
3
Формула расчета
Простая
Взвешенная
Среднее
квадратическое
отклонение
R  X max  X min
Xi  X

l
n
 
2 
4
Дисперсия
2
(
X

X
)
 i
n
2
(
X

X
)
 i
n
Xi  X f

l
f
2
(
X

X
)
f

i
 
f
2
(
X

X
)
f

i
2
 
f
Относительные показатели вариации:
№
Показатель
Формула расчета
R

 100
X
1
Коэффициент
осцилляции
kR
2
Относительное
линейное
отклонение
l
kl   100
X
3
Коэффициент
вариации

V   100
X
Расчет показателей вариации в интервальном ряду
распределения
Группы заводов
Число Середина
по уровню
производитель- заводов интервала
ности труда,
Xf
(f)
(X)
млн. р. на чел.
3 До
- 5
1
4
4
5 - 7
5
6
30
7 - 11
10
9
90
11 и -более
15
4
13
52
Итого
20
x
176
X i fi

X
 fi
176

 8,8 млн.р.
20
Расчет показателей вариации в интервальном ряду
распределения
Группы заводов Число
по уровню
работ- Середина
производитель- ников интервала
ности труда,
Xf
(f)
(X)
млн. р. на чел.
3 До
- 5
1
4
4
5 - 7
5
6
30
7 - 11
10
9
90
11 и -более
15
4
13
52
Итого
20
x
176
1 ) R  X max  X min  15  3  12 млн.р.
Расчет показателей вариации в интервальном ряду
распределения
Группы заводов Число
по уровню
работ- Середина
производитель- ников интервала
ности труда,
(f)
(X)
млн. р. на чел.
Xf
XX XX f
3 До
- 5
1
4
4
4,8
4,8
5 - 7
5
6
30
2,8
14,0
7 - 11
10
9
90
0,2
2,0
11 и -более
15
4
13
52
4,2
16,8
Итого
20
x
176
х
37,6
X  8,8 млн.р.
2)
Xi  X

l
f
f

37 ,6
 1,88 млн.р.
20
Расчет показателей вариации в интервальном ряду
распределения
Группы заводов Число
по уровню
работ- Середина
производитель- ников интервала
ности труда,
(f)
(X)
млн. р. на чел.
Xf
X  X X  X f ( X  X )2 f
3 До
- 5
1
4
4
4,8
4,8
23,0
5 - 7
5
6
30
2,8
14,0
39,2
7 - 11
10
9
90
0,2
2,0
0,4
11 и -более
15
4
13
52
4,2
16,8
70,6
Итого
20
x
176
х
37,6
133,2
X  8,8 млн.р.
3)  
4 )  2  6 ,7
2
(
X

X
)
f
 i
f
133,2

 6,7  2,6 млн.р.
20
Математические свойства дисперсии
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю
2. Если все значения признака уменьшить (увеличить) на постоянную величину
А , то значение дисперсии не изменится
3. Если все значения признака уменьшить (увеличить) в k раз, то дисперсия
уменьшится (увеличится) в k 2 раз, а среднее квадратическое отклонение в k
раз.
4. Средний квадрат отклонения от любой величины А будет всегда больше
среднего квадрата отклонения от средней арифметической на квадрат разности
между средней арифметической и постоянной величиной А

2
А

2
х
( х  А)
2
2
А

2
х
2
(
х

A
)
 i
n
2
2
А ( х  А)
если
А  0
 2  х 2  ( х )2
х2 
х2 

хi2
n


хi2 * f
f
Дисперсия альтернативного признака
Наличие признака 1
Отсутствие признака 0
Доля единиц обладающих интересующим нас признаком р
Доля единиц не обладающих интересующим нас
признаком q
p+q=1
  p* q  p* ( 1  p )
2
Общая дисперсия
n

2
( общ )

 (x
i 1
i
 x)
n
n - число единиц в совокупности
2
Межгрупповая дисперсия
k

2
x/ у

 (х
i 1
i
 x) fi
k
f
i 1
где
2
i
хi - групповая средняя;
f i - число единиц в группе;
k - число групп.
Внутригрупповая дисперсия
n
 
2
i
 (x
i
i 1
 xi )
2
fi
Средняя из внутригрупповых дисперсий
k

2
i


i 1
k

i 1
2
i
fi
fi
Правило сложения дисперсий:

2
( общ )

2
х / у ( межгр )

2
i
Эмпирический коэффициент детерминации:

2



2
x/ y
2
Эмпирическое корреляционное отношение:
k

 x2/ y

2

2
(
x

x
)
 i
i 1
n
2
(
x

x
)
 i
i 1