Уксусов_Многозначная логика

Трехзначная логика
Лукасевича
Выполнил: Уксусов К. С.
Группа: ИТ-72
Многозначная логика - тип формальной логики,
характерный наличием более чем двух возможных
истинностных значений (истинности и ложности).
Первую систему многозначной логики предложил
польский математик Ян Лукасевич в 1920 году. В
настоящее время существует очень много других
систем многозначной логики, которые в свою
очередь могут быть сгруппированы по классам.
Многозначная логика Лукасевича
Лукасевич разработал первую систему
многозначной логики - трехзначную логику
высказываний (1920).
В качестве третьего логического значения
высказывания было введено значение, выражаемое
словами «вероятно», «нейтрально». Это стало
возможным благодаря тому, что Лукасевич одним
из первых, выдвинул тезис о возможности
построения логических исчислений, в которых не
действует принцип непротиворечивости.
Ян Лукасе́вич
(польск. Jan Łukasiewicz; 21 декабря 1878, Львов - 13 ноября 1956,
Дублин) - польский логик, член Польской Академии Наук (1937),
один из главных представителей львовско-варшавской школы.
С 1945 - профессор Королевской ирландской академии в Дублине.
Работал в области логических проблем индукции и причинности и
логических оснований теории вероятностей.
Построил первую систему многозначной логики, а с её помощью систему модальной логики.
Разработал оригинальный язык для формализации логических
выражений (т. н. Польская запись, послужившая основой для более
известной обратной польской записи). По философским
воззрениям - позитивист.
Трёхзначная логики
Трёхзначная логика была исторически первой
многозначной логикой, и является простейшим
расширением двузначной логики.
Использует три истинностных значения:
1 - истина
0 - неизвестно
1 - ложь
В трёхзначной логике естественно не соблюдается
закон исключённого третьего. Вместе с тем,
важным свойством трёхзначных логик,
отражающим их адекватность, есть то, что все они
являются расширениями классической двузначной
логики.
То есть, в предположении, что интерпретируемые
символы не принимают третьего истинностного
значения, семантика формул в трёхзначной логике
такая же, как и в двузначной.
Логические операции
Логическое умножение
В роли связки и употребляется знак конъюнкции
Вычисляется min(x, y); x  y:
Логическое сложение
Знак  символизирует дизъюнкцию - взаимосвязь, двойственную
конъюнкции, в русском языке представленную союзом или.
Вычисляется max(x, y); x  y:
Логическое отрицание
Вычисляется
x
Импликация
Импликация - (от лат. implicatio - сплетение, от
implico - тесно связываю) - логическая связка,
соответствующая грамматической конструкции
«если ..., то ...», с помощью которой из двух
простых высказываний образуется сложное
высказывание.
В импликативном высказывании различают
антецедент (основание) - высказывание, идущее
после слова «если», и консеквент (следствие) высказывание, идущее за словом «то».
Импликация
В современной логике имеется большое число
импликаций, различающихся своими
формальными свойствами:
1. Импликация материальная
2. Лукасевича
3. Гейтинга
4. Троичная функция следования (Брусенцова)
Материальная импликация
Одна из основных связок классической логики.
Определяется она т.о.:
Импликация ложна только в случае истинности
основания (антецедента) и ложности следствия
(консеквента) и истинна во всех остальных
случаях.
Условное высказывание «Если x, то y»
предполагает некоторую реальную связь между
тем, о чем говорится в x и y; выражение «x
материально имплицирует y» такой связи не
предполагает.
Материальная импликация
Вычисляется импликация материальная
max(-x, y);
x y ;x y:
Импликация Лукасевича
Часть модальной логики
Импликация Гейтинга
Это часть многозначной логики. Логика Гейтинга охватывала лишь
часть классической формальной логики.
Импликацию (если р, то q) можно утверждать, только если имеется
такое построение, которое, будучи объединено с построением р,
автоматически даёт построение q. Например, из истинности
высказывания p следует: неверно, что p ложно. Но из утверждения
"неверно, что p ложно" ещё не следует, что p истинно, так как
высказывание p может оказаться неконструктивным.
Троичная функция следования
(Брусенцова)
Вычисляется:
x y