Функция распределения Больцмана для концентрации молекул в

Функция распределения Максвелла по
модулю скорости (1)
 m 
F( v)  4 

2

kT


3 2
2


mv
2
v exp  
 F( v)
2
kT


T1  T2  T3
1
1) F(v) – нормирована на 1:

2
 F( v) dv  1
3
0
2) Наиболее вероятная скорость:
F( v)  0
 mv 2  m  2v 2
 mv 2 
2v exp  

v exp  
0


2 kT
 2 kT 
 2 kT 
v
наиболее
вероятная

2 kT
m
vвер
v
Функция распределения Максвелла по
модулю скорости (2)
Для частиц, скорости которых лежат в интервале от v до
v+dv:
F( v)
dN
 F ( v) dv
N
Относительное
число
частиц,
скорость которых лежит в интервале
v1 до v2 :
N 12

N
v v  dv v
F( v)
v2
 F( v) dv
v1
v1
v2
v
Характерные скорости
Средняя арифметическая скорость движения молекул:

v 
 vF( v) dv 
0
8 kT

m
8RT
M
Средний квадрат скорости движения молекулы:

v
2
3kT
3RT
  v F ( v) dv 

m
M
0
2
Среднеквадратичная скорость движения молекул:
vкв 
3kT

m
3RT
M
Функция распределения Максвелла по
скоростям в приведённом виде
Относительная скорость молекулы:
v
F ( u)
2
kT
u 
vвер 
vвер
0,8
m
0,6
Замена переменных:
2
v 2  u 2 vвер
0,4
dv  du  v вер
0,2
F ( v ) dv 
0,4 0,8 1 1,2
3 2
2
m 2 kT 2 
 m  u 2 kT

 4 
exp  
u 

m
 2 kT 
 2 kT m

4
 F ( u) du 
u 2 exp u 2 du



1,6
2,0
u
2 kT
du 
m
Функция распределения Больцмана для
концентрации молекул в потенциальном поле (1)
Z
1) Сила, действующая со стороны
p  dp поля на все молекулы в объеме V:
S
dz
p
F
0
n  n0
dp  S  n dz  S Fz (1)
dV
Fz – проекция на ось Oz силы,
действующей на одну молекулу
U 0
Начальные условия:
при U=0 n=n0
dU
Fz  
(2)
dz
2)
dp  dn  kT ( 3)
Функция распределения Больцмана для
концентрации молекул в потенциальном поле (2)
Подставим (2) и (3) в (1):
dn
dU

n
kT
ln kT  ndU
U
ln n  
 const
kT
 U 
n  n0 exp  

 kT 
Функция распределения Больцмана для
концентрации молекул в поле тяжести Земли
 mgz 
 Mgz 
n  n0 exp  
 n0 exp  


 kT 
 RT 
n
1 – тяжелые молекулы,
низкая температура
1
2 – лёгкие молекулы,
высокая температура
2
z
Барометрическая формула
 Mgz 
p  p0 exp  

 RT 
p
p0
T2
T2  T1
T1
Z
Справедлива
для
идеального
газа,
температура которого не
зависит от высоты Z.