Вступление. Элементы дифференциального и интегрального

Вступление. Элементы
дифференциального и
интегрального
вычисления.
Производная функции, ее геометрический
и физический смысл.
Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения
приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.
f(x)
x
Определение производной,
производная функции
в точке ,
правая производная
и левая производная
задаются, соответственно,
формулами
Следовательно, производной данной функции
по аргументу
называется предел отношения приращения функции к приращению
аргумента , когда последнее произвольным образом стремится к нулю.
Заметим, что в общем случае для каждого значения х производная
имеет
определенное значение, т.е. производная является также функцией от х.
Наряду с обозначением
обозначения, например
для производной употребляются и другие
Конкретное значение производной
при обозначается
или .
Операция нахождения производной от функции
называется
дифференцированием этой функции.
Дифференциал функции, его свойства и
смысл.
•
Определение
•
Функция y=f(x) называется диф. в точке x, если приращение функции можно
представить в виде Df = ADx+o(Dx), A- const
•
Если f(x) диф. в точке x, то df=A·Dx– дифференциал функции в точке x
•
Функция имеет в точке x производную Û она дифференцируема. в этой точке
•
Док-во:
•
$ f’(x)= lim Df/DxÞ Df/Dx=f’(x)+a
•
Df=f’(x)Dx+aDxÞf-диф.
•
Df = ADx+aDx
•
•
Df/Dx=A+a Þ $ lim Df/Dx =A = f’(x)
Следствие: для диф. функции константа A равна производной функции в точке x
Свойства
•
Пусть f(x) и g(x)- диф.
•
·
d(cf) = cdf
•
·
d(f+g) = df+dg
•
·
d(f*g)= gdf+fdg
•
·
d(f/g)= (gdf-fdg)/ g*g
•
Доказательство:
•
•
•
d(f*g)= (fg)’ dx= (gf’+fg’) dx = gf’ dx+ fg’ dx= gdf+fdg
•
Доказательство:
•
y= f(x)
•
x=j(t) dx=j’(t)dt
•
y= f(j(t))
Дифференциал первого порядка обладает свойством инвариантности формы
при замене независимой переменной
dy= f’(x) dx
dy= (f(j)))’dt= f’(j(t))*j(t) dt = f’(x) dx
Смысл
•
Физический смысл дифференциала:
•
x=x(t)
•
dx= x(t) dt= u (мгновенное)
• Физич. диф.- это путь, который прошла бы точка, если ее
движение стало бы равномерным со скоростью, взятой в
момент времени t
• ·
•
Геометрический смысл дифференциала:
Геометрически дифференциал равен приращению ординаты
вдоль касательной к графику функции, проведенной в заданной
точке.
Дифференциальные уравнения 1-го порядка с
разделяющимися переменными
Спасибо за внимание