лекция 8(тм.Отн экв и пор)

Отношение порядка.
Отношение
эквивалентности
1
Свойства отношений
• Определение 1
Пусть
P  A2 . P называют
а) рефлексивным, если
x  A ( x, x)  P ,
б) антирефлексивным, если x  A ( x, x)  P
в) симметричным, если
x, y  A ( x, y )  P  ( y, x)  P
г) антисимметричным, если x, y  A
д) транзитивным, если x, y, z  A
е) линейным, если
,
,
 ( x, y)  P  ( y, x)  P  ( x  y)
 ( x, y)  P  ( y, z)  P  ( x, z)  P
x, y  A x  y  ( x, y )  P  ( y, x)  P
2
Пример
A  {2;3;4;6;8}, P  {( x, y) | x y}
P  {( 2;2), (3;3), (4;4), (6;6), (8;8), (4;2), (6;2), (6;3), (8;2), (8;4), (8;4)}
да
А) Рефлексивность Б) Антирефлексивность -
нет
В) Симметричность -
нет
Г) антисимметричность -
да
Д) транзитивность -
да
Е) линейность -
нет
3
Отношение порядка
•
Определение 2
• Антисимметричное, транзитивное отношение называют
отношением порядка. При этом рефлексивное отношение
порядка называют отношением нестрогого порядка
,
антирефлексивное отношение порядка называют отношением
строгого порядка
.
• Линейное отношение порядка называют отношением
линейного порядка. Отношение порядка, не обладающее
свойством линейности, называют отношением частичного
порядка.

4
Примеры
1) Естественный порядок на R 2
А) антисимметричность
Б) транзитивность
В) линейность
P  {( x, y ) | x  y}
Q  {( x, y ) | x  y}
x y y x x y
x y y xx y
x y y z x z
x y y zx z
x, y  R x  y  x  y  y  x x, y  R x  y  x  y  y  x
Г) рефлексивность
Д) антирефлексивность
x  R x  x
x  R x  x
P  {( x, y ) | x  y} -Отношение нестрогого линейного порядка
Q  {( x, y ) | x  y} -Отношение строгого линейного порядка
5
Примеры
2) Рассмотрим множество всех подмножеств множества A,
Обозначение B(A).
Рассмотрим S  B(A)

B(A),
S  {( X ; Y ) | X  Y }
 X  Y  Y  X  ( X  Y )
А) антисимметричность
X , Y  Β( A)
Б) транзитивность
X , Y , Z  Β( A)
В) рефлексивность
 X  Y  Y  Z  X  Z
X  Β ( A) X  X
Г) линейность
Отношение нестрогого частичного порядка, так как отношение
не линейно.
Например, A={1,2,3}, B(A)={ ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
{1,2} и {1,3} - несравнимые элементы
6
Примеры
3) P={(x,y)| x старше y}, P  A2 , где A – студенты одного института
А) антисимметричность
Если x – старше y, y – старше x , то x=y (верно)
Б) транзитивность
Если x – старше y, y – старше z , то x старше z (верно)
В) антирефлексивность
Г) линейность
Для любого x неверно, что x старше x
Существуют несравнимые элементы (студенты одного возраста)
P- отношение частичного строгого порядка
7
Примеры
2
4) P={(x,y)| x не младше y}, P  A , где A – студенты одного института
В) рефлексивность
Если x – не младше y, y – не младше x , то x,y - одного
возраста, но не обязательно x=y
Если x – не младше y, y – не младше z , то
x не младше z (верно)
Для любого x x не младше x
Г) линейность
Любые студенты сравнимы в этом смысле
А) антисимметричность
Б) транзитивность
P- не является отношением порядка
8
Отношение эквивалентности
•
•
• Определение 3
Рефлексивное, симметричное, транзитивное отношение называют отношением
эквивалентности.
Обозначение 
• Примеры
На множестве студентов, обучающихся на одной специальности одного вуза
P  {( x, y ) | x  однокурсни к y}
задано отношение
1) Рефлексивность
Для любого x - x однокурсник x
2) Симметричность
Если x – однокурсник y, то y – однокурсник x
3) Транзитивность
Если x – однокурсник y, y – однокурсник z,
то x – однокурсник z
x  y  x  однокурсни к y
9
Отношение эквивалентности
На множестве натуральных чисел задано отношение
Q  {( x, y) | x  y 5}
1) Рефлексивность
2) Симметричность
x  N x  x  05
x, y  N x  y 5  y  x5
3) Транзитивность x, y, z  N x  y 5  y  z 5  ( x  y)  ( y  z)  x  z 5
x y
10
Классы эквивалентности
• Определение 4. Система множеств Ai , i  I называется
разбиением множества A , если
• а)  Ai (i  I )  A ,
• б) i , j  I A  A    A  A .

i
j
i
j

• Определение 5. Пусть P  A - отношение
эквивалентности на A. Классом эквивалентности,
порожденным элементом a  A называют множество
2
a  x  A x ~ a
11
Классы эквивалентности
• Теорема. Если P -отношение
эквивалентности на A , то множество
классов эквивалентности образуют
разбиение A .
12
Пример
P  ( x, y )  N ( x  y )3.
2
Перечислите все классы эквивалентности для данного
отношения
a  x  N x  a (mod 3).
0,1, 2
13