Вам сюда!

Раздел 2 « Основы дифференциального исчисления»
Тема 2.1 «Производная функции
Пусть x1 и x2 – значения аргумента, a y1 = f(x1) и y2 = f(x2) –
соответствующие значения функции y = f(x). Разность x = x2 – x1 называется
приращением аргумента, а разность y = y2 – y1 = f(x2) –f(x1) – приращением
функции на отрезке [x1;x2].
Определение 1: Производной от функции y = f(x) по аргументу x
называется конечный предел отношения приращения функции к
y
приращению аргумента при стремлении последнего к нулю: y   lim
или
x 0 x
f ( x )  lim
x 0
f ( x  x )  f ( x )
dy
. Производная обозначается также
.
x
dx
Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент
касательной к графику функции y = f(x) в точке x, т.е. y  tg  .
Производная характеризует скорость изменения функции в точке x.
Операция отыскания производной называется дифференцированием
функции.
Напомним основные правила дифференцирования функций.
Пусть С – постоянная, u = u(x) и v=v(x) – функции, имеющие
производные. Тогда:
1) производная постоянной равна нулю С   0 ;
2) производная аргумента равна единице x   1 ;
3) производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых
функций равна такой же сумме производных этих функций
u  v   u   v  ;
4) постоянный множитель можно выносить за знак производной
С  u   C  u  ;
5) производная произведения двух дифференцируемых функций находится

по формуле u  v   u   v  u  v  ;
6) производная частного двух дифференцируемых функций может быть

 u  u   v  u  v
найдена по формуле   
.
v2
v
7) правило дифференцирования сложной функции:
если y = f(u), u = u(x), т.е. y = f [u(x)] – сложная функция и функции f(u) и
u(x) имеют производные, то y x  y u  u x или y   f u   u  .
Исходя из определения производной и применяя правила
дифференцирования, можно вывести формулы для производных основных
элементарных функций.
Формулы дифференцирования основных элементарных функций.
Таблица 1.


1. с   0 ;
10. sin u   cos u  u  ;
2.  х   1;
11. cos u    sin u  u  ;


u   nu

1
4.  u  
2 u
   a
u
u
1
 u ;
cos 2 u

1
 u ;
sin 2 u
12. tgu  
 u ;
13. ctgu   

1
1
5.     2  u  ;
u
u
u 
u
6. e   e  u  ;
7. a

 u ;
n 1
n
3.
ln a  u  ;

1
 u ;
u
1

9. log a u  
 u;
u ln a
8. ln u  

14. arcsin u  

1
1 u
15. arccos u   
2
 u ;
1
1 u2
 u ;

1
 u ;
1 u2
1

17. arcctgu   
 u .
1 u2
16. arctgu  
Примечание:
Здесь приведены формулы для случая, когда основная элементарная
функция является внешней функцией композиции (сложной функцией) т.е. с
учетом правила 7, где u=u(x). Если же вычисляется производная функции
обычного вида, например, f(x)=ln(x), то следует помнить, что х  1 или
 1
просто ln x   .
x
Задача № 2.1.1.
Вычислить производную по x следующей функции: y  5(tg x  x ).
Перепишем функцию в виде y  5 tg x  5 x. Воспользуемся 3-им правилом
дифференцирования: производная суммы (разности) двух функций равна
сумме (разности) их производных y  (5 tg x )  (5 x ).
Пользуясь правилом 4, константы выносим за знак производной:
y  5(tg x )  5( x ).
Теперь
задача
свелась
к
отысканию
производных
элементарных функций, которые находим из таблицы 1: (tg x ) 
Таким образом, получаем: y 
основных
1
;( x )  1.
cos 2 x
5
 5. Для получения ответа в более
cos 2 x
компактной форме его можно преобразовать, пользуясь известными
формулами тригонометрии:
y 
 1  cos 2 x 
5
sin 2 x
 1


5

5

1

5

5
 5 tg 2 x.




2
2
2
2
cos x
cos x
 cos x 
 cos x 
Ответ: y   5tg 2 x .
Задача № 2.1.2.
ex  x
Вычислить производную функции y 
.
x  ex
Выражение, задающее функцию у = у(х), представляет собой дробь, в
числителе которой находится сумма двух элементарных функций, а в
знаменателе произведение. Следовательно, для нахождения ее производной
необходимо применять основные правила дифференцирования:



 e x  x  e x  x   x  e x  e x  x   x  e x 
.
y  
 
x
x  e x 2
 xe 
Применили правило дифференцирования дроби (6), а затем для
вычисления производных в числителе последовательно применяем правило
вычисления производной суммы (3) и производной произведения (5).
e   x  x  e  e  x   x  e

y 
x  e 
x
x
x
x

 x e x 

 
x 2
Задача сведена к отысканию производных основных элементарных
функций по таблице 1.
y 
e
x

 
x  e 
 1  x  ex  ex  x  1 ex  x  ex
x 2
.
Далее преобразуем выражение с целью его упрощения:
xe2 x  xex  e 2 x  xex  xe2 x  x 2e x  e 2 x  x 2e x
y 


x  e x 2
x  e x 2
.
e x  e x  x 2 
ex  х2

 2 x .
х 2  е2 х
x e
x
2
e х
Ответ: y   2 x .
x e
Задача № 2.1.3.
Вычислить y  для y  5 cos x .
Это задача на применение правила дифференцирования сложной
функции (см. правило 7). Внешней функцией здесь служит показательная
функция: 5 возводится в степень, показатель которой равен cosx.
Дифференцируя эту показательную функцию по промежуточному аргументу


(cosx), получим 5 cos x  cosx  5 u  u  5 u  ln 5  5 cos x  ln 5 ; но промежуточный
аргумент cosx – функция независимой переменной х. Таким образом,


получим y x  5 cos x  cos x  cos x  x  5 cos x  ln 5   sin x   5 cos x  sin x  ln 5 .
Ответ: y   5 cos x  sin x  ln 5 .
Разумеется, нет никакой необходимости в таких излишне подробных
записях. Результат можно писать сразу, подставляя последовательно в уме
промежуточные аргументы. Проследите за последовательностью действий в
следующей задаче. (По существу, она полностью аналогична 3-ей.)
Задача № 2.1.4.
Вычислить производную функции y  arcsin 1  x 2 .

1
1
2 


y   arcsin  1  x 2  1  x 2 


1

x
2
2
2
2
1

x
1 1 x

1



1
  2 x  
1  1  x 2  2 1  x 2
Ответ: у   
x
x  1 x2


x
x  1 x
2

2
x
x  1 x
.
2
x  0 .
Задача № 2.1.5.
Эта задача содержит в себе все элементы предыдущих 4-eх упражнений.
x
x
Проанализируйте этапы следующего решения: пусть у  ln tg 
, тогда
2 sin x




x  x 
1  x
x   sin x  x  sin  x
1
1
x


y    ln tg   
  tg  


  
 
x  2
x
2   sin x 
sin 2 x
2 x

2
tg
tg
cos
2
2
2
sin x  x  cos x
1
1
x  cos x x  cos x





.
2
x
x sin x
sin x
sin 2 x
sin 2 x
2 sin  cos
2
2
Здесь для упрощения выражения использованы следующие формулы из
sin 
тригонометрии: tg 
и 2sincos  sin2 .
cos 
x  cos x
Ответ: y  
.
sin 2 x
Тема 2.2 «Исследование функции с помощью производной»
Задача № 2.2.1.
2 x3
Исследовать функцию y  2
и построить её график по общей схеме.
x 4
Общее исследование функций и построение графиков удобно выполнять по
следующей схеме.
1. Найти область определения функции.
2. Выяснить, является ли функция чётной, нечётной, периодической.
3. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва и
выяснить характер разрывов.
4. Найти асимптоты графика функции.
5. Найти точки экстремума функции, вычислить значения функции в
этих точках. Установить интервалы монотонности функции в этих точках.
6. Найти точки перегиба графика функции, вычислить значения
функции и значения производной в этих точках. Установить интервалы
выпуклости графика функции.
7. Используя результаты исследований, построить график функции.
При необходимости уточнить отдельные участки кривой можно вычислить
координаты нескольких дополнительных точек. В частности, рекомендуется
вычислять координаты точек пересечения графика с осями координат, так
называемые ”нули” функции.
Применяем эту схему для заданной функции.
1. Функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 2, где
ее знаменатель обращается в ноль, т.е. область определения функции D(f) = (;-2)(-2;+2)(+2;+).
2.
Функция
нечётна,
т.к.
f ( x ) 
2( x)3
2 x3


  f ( x) ,
( x ) 2  4
x2  4
следовательно, её график будет симметричен относительно начала
координат, поэтому достаточно исследовать функцию в промежутке [0;).
3. Функция непрерывна внутри своей области определения. Краевые
точки интересующей части области определения исследуем одновременно с
поиском асимптот.
4.
Вычисляем пределы
2 x3
2 x3


;
lim
 . Следовательно
x 20 x 2  4
x 2 0 x 2  4
lim
прямая x = 2 является вертикальной асимптотой. А разрыв функции в точке x
= 2 является разрывом второго рода. Вычисляем предел lim
x 
2 x3
 . На
x2  4
основании этого результата делаем вывод о том, что горизонтальных
асимптот у функции нет, но могут быть наклонные. Для поиска наклонной
асимптоты вычисляем следующие пределы:
lim
x 
 2 x3

8x
f ( x)
2 x3
и
lim
(
f
(
x
)

kx
)

lim
 2 x   lim 2
 0.
 lim

2

2
2
x 
x  ( x  4)
x  x  ( x  4)
x

 x  ( x  4)
Итак, кривая имеет наклонную асимптоту
y = 2x, причём y  2 x 
8 x  0 при x  2,

x 2  4   0 при x  2.
5. Для определения экстремумов и участков монотонности функции
необходимо
вычислить
её
первую
производную
y 

x

 4
6x2 x2  4  4x4
2
2


2 x 2  x 2  12
x
2
4

2
. Она в промежутке [0;) обращается в ноль в
точках x = 0 и x  2 3  3, 46 и в точке x = 2 обращается в бесконечность.
Знаки производной на участках между этими характерными точками
позволяют выявить характер монотонности функции. Вычислим значения
функции в этих точках: f (0) 
2  (2 3)3
2  03
f
(2
3)

6 3.

0
и
02  4
(2 3) 2  4
6.
Характер выпуклости графика функции определяется на основе
анализа её второй производной. Вычислим
 2 x 2  ( x 2  12)  16 x  ( x 2  12)
y  
.
 
2
2
( x 2  4)3
 ( x  4)

Вторая производная обращается в ноль в точке x = 0 и в бесконечность при x
= 2. Интервалы выпуклости графика определяются знаками второй
производной на участках между этими точками.
7. Для определения точек пересечения с осью x необходимо решить
2 x3
 0 , а для определения точек пересечения с осью у
x2  4
2  03
. В данном случае график пересекает оси в
f (0)  2
0 4
уравнение f ( x ) 
вычислить
единственной точке (0;0).
Для удобства и наглядности исследования составим следующую
таблицу, в которой все интересующие нас точки расположим в порядке
возрастания.
x
y’
0
0
-

(2, 2 3 )
-
y’’
0
-

+
y
0
(0,2)
2
2 3
0
3 3
2
( 2 3 ;+)
+
+
6 3
Используя результаты исследования, строим график: оси координат,
асимптоты, характерные точки, затем, ориентируясь на отметки последней
строки таблицы, - кривую в области положительных x. Кривую в области
отрицательных x строим симметрично относительно начала координат.
Ответ:
y
10,4
4
x
-2
0
2
-4
-10,4
Рис. 1 График функции
Понятие производной широко применяется при исследовании
характера взаимосвязей между переменными в различных областях науки и
практики, в том числе в экономической теории. Производная в последнем
случае выступает в роли скорости изменения некоторого экономического
объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого
фактора. С помощью производной (предела отношения приращений
зависимого и независимого параметров) определяются, в частности,
предельные издержки производства, предельная выручка, предельный доход,
предельная полезность, предельный продукт и другие предельные величины.
Многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления,
спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических
теорем, сформулированных в курсе дифференциального исчисления.
Например, сравните математическую формулировку теоремы Ферма:
«Если дифференцируемая на промежутке Х функция y=f(x) достигает
наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке x0 этого
промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю»
с её экономической интерпретацией:
«Оптимальный для производителя уровень выпуска товара
определяется равенством предельных издержек и предельного дохода».
Следующая задача контрольной работы №3 имеет своей целью
практическое применение понятия экстремума функции в экономическом
контексте. Чтобы предоставить студентам возможность самостоятельно
подумать над смыслом используемых при её решении переменных, здесь для
примера приводится решение аналогичной задачи из смежной области.
Задача № 2.2.2.
Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. При
заданном периметре окна найти такие его размеры, чтобы оно пропускало
наибольшее количество света.
1-ый этап решения подобных задач - это этап уточнения смысла задачи.
В данном случае дополняем условие задачи следующими положениями:
наибольшее количество света окно будет пропускать при наибольшей
площади остекления; форма окна такова, что оно состоит из двух простых
геометрических фигур, которые сопряжены по одной из сторон
прямоугольника, которая также является диаметром полукруга.
2-ой этап – этап формализации задачи. Прежде всего следует решить,
какую из переменных следует принять за независимую, а затем выразить
через её значения характерный параметр задачи, желательно сразу тот,
экстремальное значение которого нужно найти. В нашем случае этот
параметр – площадь окна.
Пусть длина общей стороны равняется х, тогда радиус полукруга равен
x/2, а его площадь, соответственно, S1 
  x2
8
. Для определения площади
прямоугольника необходимо вычислить его вторую сторону. Известно, что
периметр окна задан, обозначим его через a. Из геометрии понятно, что эта
величина представляет собой сумму следующих величин: длины двух
неизвестных сторон прямоугольника, длина стороны, обозначенной за x, и
длина полуокружности радиусом x/2. Следовательно, длина неизвестной
a  x   x / 2
, а его площадь
2
a  x   x / 2
  x2
a  x   x / 2
S2  x 
. Общая площадь окна, S  S1  S2 
 x

2
8
2
4ax  4 x 2   x 2
. Таким образом, площадь остекления окна определена как
8
стороны прямоугольника определяется как
функция переменной х – S(x).
3-ий этап – определение экстремальных величин. Для вычисления
точек экстремума функции S(x) необходимо определить производную этой
функции и приравнять её к нулю.
(4ax  4 x 2   x 2 ) 4a  8 x  2 x

. S’=0, если 4a  8 x  2 x =0.
8
8
2a
Решая последнее уравнение, получаем x 
–
 4
S 
является
стационарной точкой, в которой, согласно с теоремой Ферма, функция может
иметь максимум или минимум.
4-й этап – выяснение характера экстремума функции. Для этого
необходимо вычислить вторую производную функции и определить её знак в
точке экстремума.
 4a  8 x  2 x  8  2
S   
. Получилось, что вторая производная от
 
8
8


2a
значения x не зависит и всегда отрицательна, в том числе и при x 
. Это
 4
означает, что данная точка является точкой максимума функции.
5-ый этап – вычисление величин, необходимых для ответа на
поставленный вопрос задачи. В данном случае нет необходимости вычислять
максимальное значение самой функции, так как спрашивается не о
пропускной способности окна, а о его размерах. Ранее мы уже определили
длину одной из сторон прямоугольника и одновременно диаметр полукруга
x
2a
, которые обеспечивают наибольшую освещенность. Вычислим
 4
значение второй стороны, подставляя найденное значение x в формулу
a  x   x / 2
a
. В результате вычислений получим
.
2
 4
a
Ответ: Полукруг радиусом
должен опираться на прямоугольник
 4
2a
a
шириной
и высотой
.
 4
 4