Линейное пространство циклов графа над полем Z2=(0,1)

Линейное пространство циклов
графа над полем Z2=(0,1)
Ерзакова Н.А.
профессор кафедры ПМ
Определение двоичного кода для
цикла графа G с m ребрами.
Рассмотрим простые циклы, т.е. циклы,
в которых ребра не повторяются.
 Кодом для цикла Z графа с ребрами e1,
e2, …, em называется упорядоченный
набор длины m из 0 и 1, (ε1, ε2,..., εm),
где εi=1, если ei принадлежит Z и 0, если
ei не принадлежит Z.

Определение суммы циклов
Пусть цикл Z1 имеет код (ε1, ε2,..., εm),
цикл Z2 имеет код (α1, α2,..., αm), тогда
Z1+Z2 имеет код (α1+ε1, α2+ε2,..., αm+εm).
 Таким образом, определено
пространство циклов.

Теорема о размерности
пространства циклов



Пусть дан произвольный граф G (без петель,
без параллельных ребер, с конечным числом
вершин) и ν(G)=k. Тогда:
из графа G можно удалить k ребер так, что
оставшийся граф не имеет циклов, но имеет
столько же компонент связности, что и G.
размерность пространства циклов графа G
равна k.
Пример

Найти цикломатическое число и базис
циклов для данного графа.
Решение
Решение
Решение
Решение



Находим число вершин |V(G)|=8, число ребер
|E(G)|=10, число компонент связности
|K(G)|=1, поскольку граф связный.
Отсюда цикломатическое число графа
ν(G)= |E(G)|-|V(G)|+|K(G)|=10-8+1=3.
По теореме о размерности пространства
циклов число базисных циклов равно 3.
Решение
Находим базисные циклы. Для удобства
проверки линейной независимости
циклов ребра нумеруем в процессе
нахождения базисных циклов.
 Коды циклов: Z1=(1,0,0,0,1,1,1,1,0,0),
 Z2 =(0,1,0,0,0,0,1,0,0,1),
 Z3 =(0,0,1,1,0,0,1,0,1,0).

Решение

Очевидно, ранг матрицы из кодов равен
3. Следовательно, циклы линейно
независимые. Число циклов равно
цикломатическому числу. Поэтому это
базис.