Паркеты

Автор: Алена
Александрова, 9-а
МОУ
«Большеяниковская
СОШ»
Руководитель:
Гурьева Р.Т.
Паркеты с древних
времен привлекали к себе
внимание людей. Над
созданием паркетов –
орнаментов трудились
многие поколения
мастеров, подчас
создавая истинные
шедевры красоты.
Тема «Паркеты»
актуальна и в наши дни. С
паркетами мы встречаемся в повседневной жизни.
• 1.Расширение теоретической базы,
аналитический обзор литературы по
теме.
• 2.Изучить геометрические приёмы
составления паркетов.
• 3.Научиться строить паркеты с помощью графического редактора«Paint».
4.Развитие умений и навыков
исследовательской работы.
Выдвинута проблема:
Какими многоугольниками можно
замостить плоскость?
Основополагающий вопрос: Можно
ли описать все многообразие
правильных паркетов?
Вспомогательные вопросы
• 1.Из каких правильных одноименных
многоугольников можно составить паркет?
• 2.Из каких правильных разноименных
многоугольников можно составить паркет?
• 3.Можно ли сложить паркет из неправильных
многоугольников?
• 4.Из каких многоугольников экономичнее
делать паркеты?
Паркетом называют замощение
плоскости многоугольниками, при
котором вся плоскость оказывается
покрытой ими без просветов и
двойных покрытий.
Паркет называется правильным, если он
составлен из правильных многоугольников и
вокруг каждой вершины правильные
многоугольники расположены одним и тем же
способом.
Самый простой, но самый
скучный паркет получается, если плоскость разбить на равные квадраты.
Здесь 2 квадрата имеют
либо общую сторону,
либо общую вершину или
совсем не имеют общих
точек.
Столь же просты паркеты:
• из правильных
шестиугольников
• из правильных
треугольников
Вопрос: из каких ещё правильных
многоугольников можно составить
паркет
Мое предположение:
правильные
паркеты получаются
только из квадратов,
шестиугольников и
треугольников.
Используя
главное условие, необходимое для построения
паркетов:
сумма углов многоугольников в
узле паркета должна равняться 360 º
Пусть в каждой точке плоскости сходятся
одинаковых правильных n-угольников,
то должно выполняться равенство:
m
m*180º*(n-2)/n=360º.
После преобразований получим:
m=2*n/(n-2).
Если n=3, m=6
Если n=4, m=4
Если n=6, m=3
Если
n=5, m=3,333333… дробное
результат. При п =5; n > 7; 8; 9 …
правильный паркет построить нельзя !
Получили
Вывод:
Паркет можно построить из:
правильных треугольников;
правильных шестиугольников;
правильных четырехугольников.
Пятиугольниками заполнить плоскость нельзя !
На основе этих трех правильных
многоугольников можно составить
различные правильные паркеты.
• Вопрос №2. Из каких правильных
разноименных многоугольников
можно составить паркет?
• Гипотеза. Нельзя описать все
многообразие правильных паркетов
60º ≤ 180º*(n-2)/n <180º
При построении паркетов из нескольких
правильных многоугольников величина
угла правильного многоугольника может
равняться 60º, 90º, 120º.
Число многоугольников, находящихся в
окрестности точки, возможно:
m=3; 4; 5; 6 т.е. больше 2 и не может
превышать 6.
Результат. Исследования показали, что
окрестность точки можно замостить 3, 4,
5, 6 правильными многоугольниками
Решение задачи распадается на анализ тех вариантов,
когда в
вершине паркета сходятся 3, 4, 5 и 6
правильных многоугольников.
α1
α2
α3
1
135º
135º
90º
2
60º
150º
150º
3
150º
90º
120º
4
120º
60º
90º
90º
5
120º
120º
60º
60º
6
60º
60º
90º
60º
60º
90º
60º
60º
60º
60º
90º
60º
7
8
α4
α5
120º
90º
60º
Паркеты с тремя многоугольниками в вершине
В каждой вершине сходятся:
1
квадрат и 2 восьмиугольника
2
два 12-угольника и треугольник
3
12-угольник, 6-угольник и квадрат.
Паркеты с четырьмя
многоугольниками в вершине.
4
6-ник, треугольник и два квадрата
2 прав. 3-угольника и два прав. 6-угольника.
Паркеты с пятью многоугольниками в вершине
4 прав. 3-угольника и 6-угольник
3 правиль. треуг. и 2 квадрата
1)треугольник и квадрат чередуются
2)треугольники следуют за квадратами.
Результат. Перечисленные выше случаи исчерпали
все многообразие правильных паркетов.
Паркетов, составленных из одноименных
правильных многоугольников – 3, а
паркетов, составленных из разноименных
правильных многоугольников
– 8.
Вывод. Наша гипотеза оказалась неверной.
Все многообразие правильных паркетов
можно описать. Если длина стороны
многоугольников паркета задана, то существует
только 11
различных правильных
паркетов.
Паркеты из произвольных неправильных, но все
же одинаковых треугольников легко сложить.
Гипотеза. Можно сложить паркет из
прямоугольников, ромбов, но из четырехугольника
произвольной формы нельзя сложить паркет.
Паркет из четырехугольников произвольной
формы
можно построить с помощью
центральной
симметрии
Гипотеза оказалась неверной
Вывод. Можно замостить плоскость
копиями произвольного
четырехугольника
Изучая различную литературу я узнала следующее:
1.Плоскость можно покрыть копиями не любого
пятиугольника, шестиугольника, а только копиями
центрально-симметричного шестиугольника, или копиями
пятиугольника с двумя параллельными
сторонами.
:
2.Узнали, что нельзя сложить паркет
из копий выпуклого семиугольника.
В то же время существуют паркеты
невыпуклых семиугольников
Паркеты из криволинейных фигур
Некоторые определения паркета не ограничиваются многоугольниками; есть множество разнообразных паркетов, состоящих не из многоугольников, а из криволинейных фигур.
Можно построить паркеты
заменой отрезков кривыми или ломаными
Также можно построить паркеты
графическим методом
Например, возьмем
квадрат. Вырежем
с противоположных
сторон два полукруга и добавим их с
противоположной
стороны. Повторив
эту операцию еще
несколько раз, фигуру превращаем в
паркет.
Наиболее яркими примерами паркетов,
изготовленных графическим методом,
являются паркеты голландского художника –
математика Мориса Эшера. Элементами
паркета у него служили фигуры животных,
птиц, рептилий.
Паркеты находят широкое применение.
Паркетами покрывают полы в домах, украшают
стены комнат и зданий.
Каждому из нас хочется, чтобы было не только прочно,
Мне было любопытно узнать, почему пчелиные
соты имеют форму паркета из правильных
шестиугольников.
Рассуждения, вычисления, сравнения
показали, что
А из правильных треугольнаибольшую
ников, четырех2
площадь при
p 3 угольников
S=
заданном
24
наибольшая
.
периметре имеют
2
площадь у
p
правильные
S=
правильного
16
многоугольники
шестиугольника.
Результат: выгоднее вырезать
паркет именно в форме правильных
шестиугольников
S3=
4
p
x
4
6
p
x
4

p
x
4
p2 3
36
Природа - лучший «вычислитель», тому
подтверждение пчелиные соты, снежинки,
кристаллы
.
Пчелы, строя соты, инстинктивно стараются сделать их
как можно более вместительными и израсходовать при
этом как можно меньше воска, поэтому пчелиные соты
имеют форму правильных шестиугольников.
• Итак, паркетов великое множество, но паркет
производит приятное впечатление, если он
достаточно симметричен, т.е. если он
составлен из правильных многоугольников.
• Выдвинутая мною гипотеза о бесконечном
множестве правильных паркетов оказалась
неверна: в ходе работы я выяснила, что все
многообразие правильных паркетов
можно описать, существует только 11
правильных паркетов. Все эти 11паркетов я
построила.
Геометрические паркеты на экране компьютера
Невозможно правильно, а значит
красиво изобразить паркеты на
доске или в тетради. Однако в
современных условиях выход из
этого положения есть - это
использование компьютера,
например использование
графического редактора «Paint»,
входящего в стандартный пакет
Microsoft Office.
Алгоритм № 1.
Алгоритм № 2.
1. Рисуем выбранный
1. Выделить
многоугольник (с
помощью инструмента
выделения).
2. Выбрать на панели
меню команду
«Рисунок».
3. Отразить/повернуть.
4. Задать величину угла
поворота.
Можно использовать
различные цвета
заливки, в результате
получаются очень
красивые разноцветные
паркеты
многоугольник.
2. Копируем.
3. Полученную копию
передвигаем с помощью
мышки так, чтобы исходный многоугольник и его
копия соприкасались
сторонами.
Если необходимо, то
отражаем на определенный угол правильный
многоугольник относительно стороны
соприкосновения.
• Я узнала, что всегда можно составить паркет:
а) из любых одинаковых четырёхугольников,
б) из любых одинаковых треугольников и
показала, как можно это делать.
• Практическую значимость работы вижу в ее
дальнейшем применении учителями и
учащимися. Считаю, что моя работа может
быть использована учителями школьных
предметов на своих уроках, факультативных
занятиях и внеклассных мероприятиях.
1. П.И.Совертков, М.В. Слива, Д.Н.Хохлов.
Геометрический паркет на экране
компьютера. Журнал "Информатика и
образование", № 9-2002.
2.Энциклопедический словарь юного
математика. -М.:Педагогика, 1985, стр.2002001.
3.И.М.Смирнова, В.А.Смирнов «Паркеты и
их иллюстрация» статья в журнале
«Математика в школе» №8 2000 год.
4. А.Н.Колмогоров. Паркеты из правильных
многоугольников. Журнал "Квант" №3, 1970 г.
• Помните!
Паркетный пол по своим
достоинствам превосходит все
виды покрытия полов. Он
эстетичен, достаточно прочен,
практичен, хорошо сохраняет
тепло.
Решитесь на ремонт! и перед Вами предстанет
Дом Вашей мечты!
«9-а - 2009»
•