Научно-исследовательская работа на тему: «Паркеты

Научно-исследовательская работа
на тему:«Паркеты»
Выполнила: Ровная Екатерина,
учащаяся 5А класса
Руководитель: Клепань Людмила Ивановна,
учитель математики
Объект исследования - паркеты.
Методы исследования: анализ научной, учебной
литературы; сравнение и анализ результатов,
полученных разными авторами; их систематизация;
метод аналогии
Задачи:
1. Изучить литературу о паркетах.
2. Найти исторический материал.
3. Научиться решать задачи.
Выдвигаем гипотезу: количество
паркетов бесчисленное множество.
правильных
Определения
Советский энциклопедический словарь дает такое определение паркета:
паркет (франц. parquet), небольшие древесные, строганные планки (клепки)
для покрытия пола. Паркет изготавливают преимущественно из твердых
пород дерева, для художественного паркета используют ценные породы.
Различают несколько видов паркета: штучный, наборный (мозаичный),
щитовой, паркетные доски.
Паркет (из словаря С. И. Ожегова) - настил на полу из дощечек,
уложенный так, что они образуют какой-нибудь рисунок. Паркет (или
мозаика) – бесконечное семейство многоугольников, покрывающее плоскость
без просветов и двойных покрытий. Иногда паркетом называют покрытие
плоскости
правильными
многоугольниками,
при
котором
два
многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо
совсем не имеют общих точек; но мы будем рассматривать как правильные,
так и неправильные многоугольники.
Паркет называется правильным, если он составлен из равных
правильных многоугольников и вокруг каждой вершины правильные
многоугольники расположены одним и тем же способом. Дополнительно
всегда предполагается, что если паркет составлен из копий выпуклого
многоугольника, то каждые две копии либо не имеют общих точек, либо
имеют общую сторону (называемую также ребром паркета), либо общую
вершину (называемую вершиной паркета).
ПРАВИЛЬНЫЕ ПАРКЕТЫ
Паркеты с тремя многоугольниками в вершине
Здесь возможны три случая (в зависимости от набора многоугольников в каждой вершине):
1. Три одинаковых многоугольника
2. Два одинаковых и один отличный от них
3. Три различных многоугольника
ПРАВИЛЬНЫЕ ПАРКЕТЫ
Паркеты с четырьмя многоугольниками в вершине
1. Самый обычный квадратный паркет
2. Два треугольника и два шестиугольника
3. Шестиугольник, шесть квадратов и шесть треугольников - правильный паркет
ПРАВИЛЬНЫЕ ПАРКЕТЫ
Паркеты с пятью многоугольниками в вершине
1. Единственный тип вершины и единственный правильный паркет: шестиугольник и
четыре треугольника
2. Две неэквивалентные вершины, причем каждая из них образует паркеты:
два квадрата и три треугольника
Паркеты из неправильных
многоугольников
1. Легко покрыть плоскость параллелограммами
2. Можно замостить плоскость копиями
произвольного четырехугольника, необязательно
выпуклого
3. Можно составить паркет из копий произвольного треугольника: из двух равных
треугольников можно сложить параллелограмм, и покрыть плоскость копиями этого
параллелограмма
4. В то же время существуют паркеты из
невыпуклых семиугольников
Паркеты из произвольных фигур
1. Часто встречаются паркеты составленные из копий правильного многоугольника,
правильные «по граням». Многоугольники, которые могут быть плитками в этих
паркетах, называются планигонами.
2. Паркет из криволинейных плиток получен деформацией обычного шестиугольного
паркета из правильных шестиугольников.
Паркеты из произвольных фигур
1. Спиральное замощение плоскости девятиугольниками, придуманное в 1936 году
немецким математиком Х. Фодербергом
2. Существуют квазипериодические паркеты, например паркет
английского математика Роджера Пенроуза
3. Знаменитый голландский художник Мариус Эшер (1898-1972) посвятил орнаментам
несколько своих картин. Среди них: "Всадники", "Летящие птицы"; "Ящерицы"
Рассмотрим способы построения
нового паркета
Способ первый. Берем некоторую сетку (уже известный нам паркет) - из
правильных треугольников, шестиугольников, квадратов, или из произвольных
многоугольников, и выполняем преобразования: сжатие/растяжение, замена
прямолинейных отрезков кривыми с началом и концом в тех же точках, что и у
отрезков...
Пример: паркеты, полученные заменой отрезков "квадратной" сетки
некоторыми кривыми или ломаными.
Рассмотрим способы построения
нового паркета
Способ второй. Объединяем отдельные элементы уже существующих паркетов.
Примеры: паркеты, полученные в результате объединения элементов
квадратной сетки
Рассмотрим способы построения
нового паркета
Способ третий. Берем существующую сетку и дополняем ее новыми линиями.
Получаем разбиение плоскости на фигуры, которые затем можно по-новому
объединить. В частном случае - накладываем друг на друга две (или более)
сетки уже известных паркетов, смещая или поворачивая одну сетку
относительно другой; фигуры, образовавшиеся при пересечении линий, считаем
элементами паркета.
Пример (разбиения сетки из греческих крестов)
Рассмотрим способы построения
нового паркета
Способ четвертый. Выбираем некоторую кривую или ломаную и начинаем ее
переносить на некоторый вектор, поворачивать, отражать... получившиеся
кривые или ломаные размещаем на плоскости таким образом, чтобы они
образовали замкнутые контуры (которые в дальнейшем будут рассматриваться
как элементы паркета). Если рассматривать только незамкнутые кривые и
ломаные, паркеты будут напоминать полученные способом №1.
Для получения следующего паркета была взята дуга спирали, три раза
повернута на 90°, а затем к получившейся фигуре был применен параллельный
перенос
Рассмотрим способы построения
нового паркета
А вот паркеты, полученные с помощью параллельного переноса звездчатых
многоугольников:
Совмещая вершины звездчатых многоугольников, получаем паркеты, состоящие
из
правильных
восьмиугольников,
равнобедренных
прямоугольных
треугольников, а также из невыпуклых 16-угольников, напоминающих крест. На
первом рисунке есть еще один элемент - выпуклый четырехугольник
Заключение
Выдвинутая мною гипотеза о бесконечном
множестве правильных паркетов оказалась неверна:
в ходе работы я выяснила, что правильных паркетов
только 11.
Спасибо
за
внимание!