Определение центра тяжести системы тел

Два шара радиусами R1 и R2 и массами m1 и m2
Скреплены стержнем длиной L и массой m.
Определить центр тяжести полученной
системы.
F
Воспроизведем рисунок и введем
обозначения
R1
L
2
упр.
C
O3
O1
– сила реакции опоры
O2
R2
x
mg
m1g
L
+M
-M2
+M1
m2g
1. Вывести расчётную
формулу центра тяжести
данной системы.
2. Найти экспериментальным
путём центр тяжести этой
системы и сравнить
результаты.
m1 - масса маленького шара
R1 - радиус маленького шара
m2 - масса большого шара
R2 – радиус большого шара
m - масса стержня
L – длина стержня
F
R1
O1
L
2
C
O
упр.
– сила реакции опоры
O2
R2
3
x
Эти системы можно
представить как совокупность трех
простых тел: два шара и
цилиндрический стержень . Центр
тяжести каждой из частей находится
в ее центре симметрии (точке О1 ,
О2 , О3 )
m1g
L mg
+M
-M2
+M1
m2g
Центр тяжести системы – это точка , относительно которой сумма моментов сил
тяжести всех частей тела равна нулю.(это точка С ) То есть, если закрепить это тело в центре
его тяжести , то оно будет находится в равновесии. Очевидно эта точка будет находиться
между m2g и mg , т.к. m2g – самая большая по величине сила и для равновесия ее плечо
должно быть самым малым. Обозначим через х – расстояние от центра тяжести (С) системы
до центра тяжести стержня О3. Тогда относительно точки С на систему действуют следующие
моменты сил: M1, M2, M
где
L
M1=m1g|O1c|=m1g ( R1+ 2 +x)
L
M2 =-m2g|O2c| = -m2g(R2+( 2 -x))
M=mgx
M1+M2+M=0
Плечо силы – это наикратчайшее расстояние от центра вращения до линий действия
соответствующих сил.
Моменты M1 и M вызывают вращение против часовой стрелки относительно точки С,
M2 – по часовой
Следовательно:
L
L
m1g ( R1+ 2 +x)-m2g(R2+( 2 -x)) + mgx=0
Решим это уравнение относительно х
m1gR1 + m1g
L
2
+ m1gx - m2gR2 – m2g
gx(m1 + m2 + m) = -m1gR1 - m1g
gx(m1 + m2 + m) = -m1g(R1 +
L
2
+ m2gx + mgx = 0
L
L
2 + m2gR2 + m2g 2
L
L
)
+
m
2g(R2 +
2
2
)
L
L
m2  ( R2  )  m1  ( R1  )
2
2
x
m1  m2  m
m1=4,9г
41,7(1,075  4,9) - 4,9(0,6  4,9)

4,9  41,7  11,2
41,7 * 5,975  4,9 * 5,5 249,1575  26,95



57,8
57,8
222,2075

 3,84442 см
57,8
x
m2=41,7г
m=11,2г
d1=1,2 см R1=0,6 см
d2=2,15 см R2=1,075 см
L=9,8 см
x  3,84442 см
L
 4,9см
2
L
x
2
x  4,9 - 3,84442  1,05558см
x 
L
2
O3
x
X
L
Таблица
Результат
теоретического
расчета
Результат
экспериментального
расчета
Xт=3,84442 см
Xэ=3,8см
x T  1,05558см
x э  1,1см
Примечание: все части системы сконструированы своими руками.