1. Определители

Курс лекций по алгебре и
геометрии
Составитель: Никулина Л.С.,
старший преподаватель кафедры
математики и моделирования
Цели преподавания дисциплины
Развитие интеллекта и способностей к
логическому и алгоритмическому
мышлению;
Обучение основным математическим
методам, необходимым для анализа,
моделирования и решения
экономических и других задач.
Задачи преподавания
На примерах продемонстрировать
студентам сущность математических
методов, научить приемам
исследования и решения
математически формализованных
простейших задач, привить навыки
самостоятельной работы с
математической литературой.
Литература
Учебно-методические разработки:
Л. Я. Дубинина, Л. С. Никулина, И. В.
Пивоварова. Курс лекций по высшей
математике, ч. 1, 2.-Владивосток, изд.
ВГУЭиС, 2001.
Сборник задач по высшей математике.
Сост. И. В. Пивоварова, Л. Я. Дубинина,
Л. С. Никулина. -Владивосток, изд.
ВГУЭиС, 2002.
Контроль
Виды контроля: В процессе обучения
студенты должны выполнить 2
контрольных работы, 3 ИДЗ и сдать
теорию. Кроме того, студенты должны
пройти промежуточную аттестацию на
восьмой неделе занятий.
Итоговая аттестация
предусмотрена в виде экзамена
(компьютерное тестирование).
Аттестации
Способы проведения промежуточных
аттестаций, способ проведения
итоговой аттестации и условия
получения на ней положительной оценки.
Для получения положительной оценки на
экзамене студент должен выполнить все
контрольные работы, выполнить и защитить
все ИДЗ, проявлять активность на занятиях и
регулярно выполнять все домашние задания.
Оценки
• К экзамену допускаются студенты,
набравшие в течение семестра 41 балл
(минимально).
• Экзамен-20 баллов
• Посещаемость занятий обязательна для
первокурсников-10 баллов
• Все виды контрольных , ИДЗ, теоретические
диктанты -50 баллов при условии 100процентного их выполнения.
• Таким образом за семестр можно набрать 80
баллов максимально.
Содержание
1. Определители
2. Элементы теории матриц
3. Системы линейных уравнений
4. Элементы векторной алгебры
5. Прямые и плоскости
6. Кривые второго порядка
7. Комплексные числа
8. Сведения о многочленах
Определители
Лекция 1
• Рассмотрим таблицу
 a11

a
 21
a12 

a 22 
Числа
a11 , a12 , a21 , a22
– это
элементы таблицы.
aij
i  номер строки;
j  номер столбца
• Число строк – порядок таблицы.
• Главная диагональ – диагональ
идущая с левого верхнего угла в
правый нижний.
• Побочная диагональ – диагональ
идущая с верхнего правого угла в
левый нижний.
 a11

a
 21
побочная
a12 

a 22 
главная
• Выражение

a11
a12
a21
a22
 a11  a22  a21  a12
называется определителем 2-го
порядка .
Определители третьего
порядка
• Рассмотрим таблицу
 a11

 a21
a
 31
a12
a22
a32
a13 

a23 

a33 
Определение
Определителем 3-го порядка называется
выражение
а11 а12 а13
а 22 а 23
а 21 а 23
а 21 а 22
  а 21 а 22 а 23  а11
 а12
 а13
а32 а33
а31 а33
а31 а32
а31 а32 а33
Пример. Вычислить определитель
1 2 4
 3
2 5
1  2 3
Решение. Используя определение,
имеем
1
 3
2 4
2 5
1 2 3
2 5
3 5
3 2
1
 (2)
4

2 3
1 3
1 2
 2  3  2  5  2(3  3  1 5)  4(3(2)  1 2)  28.
Методы вычисления
определителей третьего
порядка
Правило
треугольника
Три произведения элементов, стоящих на
главной диагонали и в вершинах двух
треугольников:
берутся со знаком "", а три произведения
элементов, стоящих на побочной диагонали и
в вершинах двух других треугольников:
берутся со знаком "".
Разложение по элементам
какой-либо
строки(столбца)
Минор
Минором элемента определителя 3-го
порядка называется определитель 2-го
порядка, получающийся из данного
определителя вычёркиванием строки и
столбца, в которых расположен элемент.
Обозначение минора
Минор элемента , стоящего на
пересечении i-й строки и j-го
столбца определителя,
обозначают
M ij
Алгебраическое
дополнение
Алгебраическим дополнением
элемента определителя
3-го
порядка называется минор
этого элемента, умноженный на
(-1) в степени k , где
k  i  j.
Aij   1 M ij
k
Aij   1 M ij
i j
Знаки, приписываемые минорам
определителя 3-го порядка, можно
задать таблицей









• Определитель 3-го порядка можно
теперь записать следующим образом:
à11 à12 à13
à22 à23
à21 à23
à21 à22
  à21 à22 à23  à11
 à12
 à13

à32 à33
à31 à33
à31 à32
à31 à32 à33
 à11 À11  à12 À12  à13 À13
Теорема разложения
Определитель 3-го порядка равен
сумме произведений элементов
какой-либо строки (столбца)
определителя на их
алгебраические дополнения.
Таким образом, имеет место шесть
разложений:
  a11  A11  a12  A12  a13  A13 ,
  a 21  A21  a 22  A22  a 23  A23 ,
  a31  A31  a32  A32  a33  A33 ,
  a11  A11  a 21  A21  a31  A31 ,
  a12  A12  a 22  A22  a32  A32 ,
  a13  A13  a 23  A23  a33  A33 .
Лекция 2
Свойства определителей
1.Определитель не меняет своего
значения при замене каждой строки
соответствующим столбцом, т.е.
a11
a 21
a 31
a12
a 22
a 32
a13
a11
a 23  a12
a 33 a13
a 21
a 22
a 23
a 31
a 32 .
a 33
2. При перестановке двух рядом стоящих
строк или двух столбцов определитель
меняет знак.
3. Определитель, у которого две строки или
два столбца одинаковы, равен нулю.
4. Если элементы какой-либо строки или
столбца определителя пропорциональны
элементам другой строки или столбца, то
такой определитель равен нулю
5. Общий множитель элементов
какого-либо строки (столбца)
определителя можно выносить за знак
определителя.
6. Определитель равен нулю, если все
элементы какой-либо строки (столбца)
равны нулю.
7. Если элементы какой–либо строки или
столбца определителя представляют
собой суммы двух слагаемых, то
определитель можно разложить на
сумму двух соответствующих
определителей.
8. Значение определителя
не
изменится, если к элементам
строки или столбца прибавить
соответствующие элементы другой
строки или столбца, умноженные на
одно и то же число.
Пример
Определитель
1 2 3
 2 1 2
3 2 1
вычислить, получив в первом столбце
два нуля и раскладывая его по
элементам этого столбца.
Определители высших
порядков
Выражение
a11 a12 a13 a14

a 21 a 22 a 23 a 24
a 31 a 32 a 33 a 34
a 41 a 42 a 43 a 44
a 21 a 22 a 24
a 22 a 23 a 24
a 21 a 23 a 24
 a11  a 32 a 33 a 34  a12  a 31 a 33 a 34 
a 42 a 43 a 44
a 41 a 43 a 44
a 21 a 22 a 23
 a13  a 31 a 32 a 34  a14  a 31 a 32 a 33
a 41 a 42 a 44
a 41 a 42 a 43
называется определителем 4-го порядка
Этот определитель можно представить в
виде:
  a i1 Ai1  ai 2 Ai 2  ai 3 Ai 3  ai 4 Ai 4 ,
где
i j
Aij  (1) M ij , i  1,2,3,4, j  1,2,3,4,
M ij –это минор элемента , стоящего на
пересечении i-й строки и j-го столбца,
Аij -его алгебраическое дополнение.
Метод понижения порядка
Метод понижения порядка
определителя основан на
обращении всех, кроме одного,
элементов определителя в нуль с
помощью свойств определителей.
Метод приведения к
треугольному виду
Метод приведения к треугольному
виду заключается в таком
преобразовании данного определителя,
когда все элементы его, лежащие под
одной из его диагональю, становятся
равными нулю.
Пример
Вычислить
определитель
понижения порядка
2 3 3
4
2 1 1

6 2 1
2
.
0
2 3
5
0
методом
Вычислить определитель
1
1
1
1 1 1

1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
приведением его к треугольному виду.