Устное решение квадратных уравнений

Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Цивильская средняя общеобразовательная школа №1 имени
М. В. Силантьева» Цивильского района Чувашской Республики
Приёмы устного решения
квадратного уравнения
Учитель математики
Ермеев Валерий Александрович
Цивильск-2008г.
Дорогу осилит идущий ,
а математику - мыслящий



Квадратные уравнения – это фундамент, на котором
покоится величественное здание алгебры. Квадратные
уравнения находят широкое применение при решении
тригонометрических, показательных ,
иррациональных уравнений и неравенств.
В школьном курсе математики изучаются формулы
корней квадратных уравнений, с помощью которых
можно решать любые квадратные уравнения.
Однако имеются и другие приёмы решения квадратных
уравнений, которые позволяют очень быстро и
рационально решать квадратные уравнения.
Цель урока


Обобщить и систематизировать
изученный материал по теме:
«Квадратные уравнения».
Научить учащихся приёмам устного
решения квадратных уравнений.
Дорогу осилит идущий , а
математику - мыслящий




От чего зависит наличие
действительных корней уравнения?
Сколько корней могут иметь
квадратные уравнения?
Какой вид имеет приведённое
квадратное уравнение?
Какие формулы для нахождения
корней вы знаете?
D >0
2корня
D =0
1корень
D<0
Нет корней
Формулы корней:
x  px  g  0
2
2
1
x1,2
p


2
2
p
 g;
4
 b  b 2  4ac
x1, 2 
;
2a
3
x1, 2
 k  k 2  ac

a
ax  bx  c  0
2




(*)
В каком случае уравнение вида (*)
называется квадратным?
Какой вид примет это уравнение,
если…
Как называются такие уравнения?
Имеют ли корни уравнения?
a0
ax 2  bx  c  0
b=o
c=0
b≠0
c=0
b=0
c≠0
ax  0
2
1 корень:
x=0
ax 2  c  0
2 корня, если:
а и с имеют разные
знаки
НЕТ КОРНЕЙ, если:
а и с имеют одинаковые
знаки
ax 2  bx  0
2 корня
x(ax  b)  0,
x1  0
b
x2 
a
Теорема
Виета
Когда уравненье решаешь дружок,
Ты должен найти у него корешок.
Значение буквы проверить несложно.
Поставь в уравненье его осторожно.
Коль верное равенство выйдет у вас,
То корнем значенье зовите тотчас
x1 , x2  корни
уравнения
x  px  g  0
2
x1  x2   p
x1  x2  g
Теорема Виета
x1 , x2  корни
уравнения
ax 2  bx  c  0
Франсуа Виет (или Вьет) (фр.
François Viète, seigneur de la
Bigotière; 1540—13 декабря
c
x1  x 2 
a
b
x1  x 2  
a
1603) — выдающийся
французский математик XVI
века, положивший начало
алгебре как науке. По
образованию и основной
профессии — юрист, по
склонности души — математик.
Теорема Виета



По праву достойна в
стихах быть воспета
свойствах корней
теорема Виета.
Что лучше, скажи,
постоянства такого:
Умножишь ты корни –
и дробь уж готова?




В числителе с , в
знаменателе а.
А сумма корней тоже
дроби равна.
Хоть с минусом дробь,
что за беда.
В числителе в, в
знаменателе а.
Квадратные уравнения с большими
коэффициентами
4 x  13 x  9  0
2
319 x 2  1988 x  1669  0
1999 x 2  2000 x  1  0
4 x  11x  7  0
2
1978 x 2  1984 x  6  0
319 x 2  1988 x  1669  0
2x  x  3  0
2
ax  bx  c  0
2
Приём «Коэффициентов»:
1) Если а+в+с=0, то
2) Если в = а + с, то
3) Если
abc  0
x1  1, x 2 
c
.
a
c
x1  1, x 2 
.
a
, то приём «Переброски»
Используя приёмы 1) -3) можно придумывать
уравнения с рациональными корнями.

Пусть дано квадратное уравнение
ax 2  bx  c  0,
где a  0
1.Если a + b + c=0 (т.е сумма коэффициентов равна нулю), то
x1  1, x 2 
c
.
a
a0
x2 
По теореме Виета
По условию a + b +c =0,
Получаем
b
c
x   0.
a
a
b

 x1  x 2   a

x  x  c .
 1 2 a
ac
c

 x1  x 2   a  1  a

откуда b= - a – c. Значит, x1  x 2  1  c .
a

x1  1, x 2 
c
,
a
что и требовалось доказать.
abc  0
2 x 2  11x  5  0
Решаем устно
x 2  11x  10  0
Его корни 10 и 1, и делим на 2.
Ответ: 5;
1
2
6 x 2  7 x  3  0  x 2  7 x  18  0
Корни 9 и (-2).
Делим числа 9 и ( -2) на 6:
Ответ:
3
1
;
2
3
9
2
x1  , x 2  
6
6
Используя приёмы решения 1) – 3),вы можете
придумывать уравнения с рациональными корнями.
Например, возьмём уравнение x 2  5 x  6  0
(Корни 2 и 3), 6 делится на 1,2,3,6
6=1*6
6=6*1
6=2*3
6=3*2 Отсюда уравнения:
________________
Одно уравнение дало ещё
7 уравнений с
рациональными корнями.
-------------------------------------------------
6 x 2  5x  1  0
2 x 2  5x  3  0
3x 2  5 x  2  0
x 2  5x  6  0
2 x 2  5x  3  0
6 x 2  5x  1  0
3x 2  5 x  2  0