6. Однолистность Поверхность Римана

§6. Однозначные ветви
многозначной функции.
Поверхность Римана
п.1.Однозначные ветви функции z  w .
n
Для того, чтобы к многозначным функциям
можно было применять понятия и результаты,
полученные для однозначных функций, нужно
уметь выделять однозначные ветви
многозначных функций.
Функция w  f (z ) , определенная в области G,
и такая, что в различных точках этой области
принимает различные значения, называется
однолистной.
В этом случае область G называется областью
однолистности.
Из определения следует, что функция,
обратная однолистной, является однозначной.
Рассмотрим функцию
w z .
n
Найдем ее области однолистности.
Выясним, что представляет собой образ луча
i
z  r  e ,   const , 0  r  .
Пусть w    e
i
 e
, тогда
i
i
 r e .
n
Отсюда
  r ,   n  2k , k  Z.
n
Так как 0  r  , то 0 
причем   n .
  ,
Следовательно, луч плоскости z, проведенный
под углом  , переходит в луч плоскости w,
проведенный под углом   n .
y
v
z  re
i
w  ei

x
n
u
i1
Пусть
z1  r1  e ,
Тогда равенство
т.е.
n
z1
n in1
r1  e
z2  r2  e

i2
.
n
z2 ,
n in2
 r2  e ,
равносильно равенствам
n
r1
т.е.
n
 r2 ,
n 2  n1  2k , k  Z,
2k
r1  r2 ,  2  1 
, k  Z.
n
Поэтому, область в виде сектора с
центральным углом
2

n
и вершиной в начале координат является
n
областью однолистности для функции w  z .
Рассмотрим область
2
0  
.
n
Найдем ее образ при отображении w 
Луч
  const
переходит в луч
Значит, если
то
  n .
2
0  
,
n
0    n  2 .
n
z .
Отсюда следует, что сектор
2
0  
n n
плоскости z функцией w  z отображается на
полную плоскость w с выброшенной
положительной частью действительной оси
Ou.
y
(w)
(z )
v
E
2

n
x
u
Аналогичным образом заключаем, что любой
сектор
qk :
2
2
(k  1)   
k,
n
n
k  1, n
отображается на множество E.
Замечание 1.
Существуют области однолистности для
n
функции w  z , отличные от выбранных.
Области однолистности можно выбрать так,
чтобы они, не налегая друг на друга,
заполняли всю плоскость z.
(z )
y
q2
2

n
q1
x
qk
qn
Каждая из этих областей преобразуется в
n
область E посредством функции w  z .
Обратно, если w изменяется в области E, то z
можно считать изменяющимся в любой из
соответствующих областей qk .
Поэтому можно говорить не об одной, а об n
n
функциях, обратных функции w  z ,
определенных в области E.
Эти функции рассматриваются как различные
однозначные ветви многозначной функции
z  n w.
Этих ветвей будет ровно n.
Чтобы фиксировать какую-либо из ветвей,
достаточно указать, в какой из областей qk
изменяется z.
Итак, установлено наличие различных ветвей
n
функции z  w при помощи понятия
областей однолистности.
К тому же результату можно прийти и иным
путем.
Положим
w  r (cos   i sin  ).
Тогда
  2k
  2k 

z  w  r  cos
 i sin
, k  0, n  1.
n
n 

n
n
Придавая k значения 0,1,..., n  1 , получим n
различных значений функции,
соответствующих n различным ветвям этой
многозначной функции, именно
zk 
 w k
n
  2k
  2k 

 r  cos
 i sin
, k  0, n  1.
n
n 

n
Выберем из этих значений какое-нибудь одно
 w k
n
т.е. будем считать k фиксированным.
Пусть точка w в плоскости w описывает
некоторую замкнутую кривую Г, не
содержащую внутри себя начало координат.
v
Г Тогда, непрерывно
изменяющиеся r и  ,
вернутся к
первоначальным
r
значениям, когда точка

w примет исходное
u положение.
Соответственно и значение n w k после
полного обхода останется прежним.
w
 
Пусть точка w описывает некоторую
замкнутую кривую Г, содержащую внутри себя
начало координат.
После полного обхода
v
w
кривой Г значение 
r
увеличится на 2 .

Поэтому,
u
Г
 
n
  2  2k
  2  2k 

w k после  r  cos
 i sin

n
n


обхода
  2 (k  1)
  2 (k  1)  n
n 
 r  cos
 i sin
  w k 1 ,
n
n


n
 
т.е. при таком обходе кривой Г, содержащей
внутри себя начало координат, ветвь n w k
n
перейдет в ветвь w k 1.
 
 
Повторяя обходы вокруг начала координат в
положительном направлении достаточное
количество раз, можно перейти от одной ветви
к любой другой.
Точка, обладающая тем свойством, что обход
вокруг нее переводит от одной ветви к другой,
называется точкой разветвления данной
функции.
Таким образом, точка w  0 является точкой
n
разветвления для функции z  w .
При этом говорят, что точка w  0 является
точкой разветвления конечного порядка или
алгебраической точкой разветвления.
Замечание 2.
Так как полный обход вокруг начала координат
в то же время является полным обходом
вокруг точки w   , то точка w   также
является точкой разветвления функции z  n w .
Других точек разветвления эта функция не
имеет.
п.2.Поверхность Римана функции z 
n
Функция w  z взаимно однозначно
отображает сектор
2
n
0  
n
плоскости z на плоскость w с выброшенной
положительной частью действительной оси
Ou.
Границы этого сектора при отображении
переходят в один и тот же луч   0
плоскости w.
w.
Чтобы установить взаимно однозначное
соответствие между сектором
2
0  
n
плоскости z и плоскостью w, произведем
разрез плоскости w по положительной части
действительной оси Ou.
Установим взаимно однозначное соответствие
между верхним берегом разреза и лучом   0,
а также между нижним берегом разреза и
лучом   2 .
n
y
v
2

n
 0
x
u
Очевидно, каждый сектор 2 (k  1)    2 k ,
n
n
k  1, n,
взаимно однозначно отображается на
плоскость w с разрезом по положительной
части действительной оси Ou.
n
Поэтому, геометрический образ функции w  z
представляет собой на плоскость w с
разрезом, повторенную n раз.
Тем самым отображение полной плоскости z
на полную плоскость w не является взаимно
однозначным.
Взаимную однозначность можно сохранить
следующим образом.
Будем считать, что имеется n экземпляров
плоскости w с разрезом, на каждой из которых
w изменяется в пределах
2 ( k  1)  Arg w  2k , k  1, n.
Сектору 2
2
(k  1)   
k,
n
n
плоскости z ставится в соответствие k–ый
экземпляр плоскости w.
2
2
Лучи
k

(k  1) и  
n
n
переходят в верхний и нижний берег разреза
k–го листа соответственно.
Построим из этих листов непрерывное
геометрическое многообразие так, чтобы
непрерывному движению точки на плоскости z
соответствовало бы непрерывное движение
точки w на этом многообразии.
Заметим, что нижний берег разреза k–го листа
и верхний берег разреза (k+1)–го листа имеют
один и тот же аргумент
 k  2k .
Когда точка z в своем непрерывном движении
на плоскости z переходит из одного сектора в
другой, соответствующая ей точка w
переходит с одного листа плоскости w на
другой.
Чтобы сохранить непрерывность движения
соединим соседние листы следующим
образом:
склеим нижний берег разреза k–го листа с
верхним берегом разреза (k+1)–го листа и т.д.
При этом останутся свободными верхний
берег разреза 1–го листа и нижний берегом
разреза n–го листа.
Пусть точка z совершит на плоскости z полный
оборот вокруг точки z  0 , последовательно
пройдя через все n секторов этой плоскости,
начиная с первого, и вернется к своему
первоначальному положению.
Соответствующая ей точка w пройдет n листов.
Чтобы она вернулась на первый лист, надо
склеить оставшиеся свободными берега
разрезов на первом и n–ом листах.
Тем самым функция w  z полной плоскости
z ставит в соответствие n листов плоскости w,
склееных указанным образом.
n
Такое геометрическое многообразие
представляет собой частный случай так
называемой поверхности Римана или
римановой поверхности.
Функцию
z  n w называют n-листной.
Замечание 3.
Точка w  0 , называемая точкой разветвления
n
функции z  w , принадлежит всем листам
римановой поверхности.
Поверхность Римана функции z 
w.
п.3.Однозначные ветви функции z  Ln w
и ее поверхность Римана.
Рассмотрим функцию
we .
z
Бесконечнозначная функция
z  Ln w
является обратной по отношению к функции
we .
z
Найдем области однолистности функции
we .
z
Пусть
z1  x1  iy1,
Тогда равенство z
1
z2  x2  iy 2 .
e e ,
x1 iy1
x2 iy 2
e e e e ,
т.е.
z2
равносильно равенствам
e  e , y2  y1  2k , k  Z,
x1
или
x2
x1  x2 , y2  y1  2k , k  Z,
Поэтому, за область однолистности можно
взять любую горизонтальную полосу шириной
2 .
Рассмотрим область
Функция
q0 : 0  Im z  2 .
we
прямую
z
y  const
плоскости z преобразует в луч
плоскости w.
Поэтому, полоса
y
q0 : 0  Im z  2
плоскости z отображается на полную
плоскость w с выброшенной положительной
частью действительной оси Ou.
Очевидно, это утверждение справедливо для
любой полосы
qk : 2k  Im z  2 (k  1), k  Z.
y
6i
4i
2i
0
 2i
q2
v
E
q1
q0
x q1
u
q 2
Эти области, не налегая друг на друга,
заполняют всю плоскость z и каждая из этих
областей преобразуется в область E.
Обратно, если w изменяется в области E, то z
можно считать изменяющимся в любой из
соответствующих областей qk .
Поэтому можно говорить не об одной, а о
бесконечном множестве функций, обратных
z
функции w  e , определенных в области E.
Эти функции рассматриваются как различные
однозначные ветви многозначной функции
z  Ln w.
Этих ветвей будет бесконечное количество.
Чтобы фиксировать какую-либо из ветвей,
достаточно указать, в какой из областей qqk
k
изменяется z.
Итак, установлено наличие различных ветвей
функции z  Ln w при помощи понятия
областей однолистности.
К тому же результату можно прийти и иным
путем.
Положим
w  r (cos   i sin  ).
Тогда
z k  (Ln w) k  ln r  i (  2k ), k  Z.
Разным значениям k соответствуют различные
ветви ( Ln w) k .
Таким образом, имеется бесконечное
количество разных ветвей.
Зафиксируем какую-нибудь ветвь ( Ln w) k и
заставим точку w описать замкнутую кривую.
n
Рассуждая, как и в случае функции z  w ,
придем к заключению, что точки w  0 и w  
являются точками разветвления функции
z  Ln w.
Отличие этого случая от функции z  n w ,
заключается в том, что производя обороты в
одном и том же направлении, мы никогда не
вернемся к исходному значению ( Ln w) k , а
всегда будем получать новые.
При этом точка w  0 называется точкой
разветвления бесконечного порядка или
трансцендентной точкой разветвления.
Поверхность Римана для функции z  Ln w
строится аналогично поверхности Римана
функции z  n w .
В этом случае поверхность Римана будет
бесконечнолистной.