Лекция 9. Теоретический анализ моделей

Лекция 9. Экономические приложения
выпуклого программирования:
теоретический анализ
Содержание лекции:
1.
2.
3.
4.
Неоклассическая микроэкономическая модель
хозяйствующего субъекта
Оптимальные объёмы потребления ресурсов и выпуска
продукции
Функциональная матрица задачи математического
программирования в точке оптимума и её свойства
Анализ компенсационных эффектов при анализе
потребительского спроса
Экономические приложения выпуклого программирования: теоретический анализ
(с) Н.М. Светлов, 2007
Литература





Шелобаев С.И. Экономико-математические методы и
модели: Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд. М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2005. — Раздел 4.3.
Экономико-математические методы и прикладные
модели: Учеб. пособие для вузов / Под ред. В.В.
Федосеева. — 2-е изд. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. —
Глава 8.1.
Гатаулин А.М., Светлов Н.М. Стоимость, равновесие
и издержки в сельском хозяйстве. М.: ФГОУ ВПО
РГАУ–МСХА им. К.А. Тимирязева, 2005. — Раздел 3.3.
Mas-Colell А., Whinston M.D., Green J.R. Microeconomic
Theory. New-York, Oxford: Oxford University Press, 1995.
— Главы 3…6.

Экономические приложения выпуклого программирования: теоретический анализ
(с) Н.М. Светлов, 2007
2/10
9.1
Неоклассическая микроэкономическая
модель хозяйствующего субъекта
max wy  vx
 x ,y
 y  Y ( x)
x ‡ 0; y ‡ 0

x – затраты ресурсов (по видам)
y – выпуск продукции (по видам)
v – цены ресурсов
w – цены продукции
Если предположить (упрощая),
что Y ( x ) содержит единственный
вектор при любом x , то можно
записать
max wy  vx
 x ,y
 y  f ( x)
x ‡ 0; y ‡ 0,

Линейная
целевая функция
Обычно считается:
• выпуклой;
• строго возрастающей
по любому xi;
• дважды
дифференцируемой;
• проходящей через
начало координат
где f ( x ) – производственная
функция
Экономические приложения выпуклого программирования: теоретический анализ
(с) Н.М. Светлов, 2007
3/10
9.2
Оптимальные объёмы потребления
ресурсов и выпуска продукции
Функция прибыли :
p ( v, w )  max(wy  vx | y  f ( x))
x,y
Если верны предположения предыдущего слайда, то функция прибыли:
– выпукла;
– линейно однородна первой степени, т.е.
p (kv, kw )  kp( v, w ) при k  0.
Функция ресурса i:


xi ( v, w )  xi | max(wy  vx | y  f (x)) , где x  ( xi ),
x,y
при том же предположении:
– линейно однородна нулевой степени, т.е. xi (kv, kw )  xi ( v, w );
Функция выпуска j:
y j ( v, w )  f j (x( v, w )), где x( v, w )  ( xi ( v, w )), f ( x)  ( f j ( x)),
при том же предположении:
– линейно однородна нулевой степени.
Экономические приложения выпуклого программирования: теоретический анализ
(с) Н.М. Светлов, 2007
4/10
Лемма Хотеллинга
9.2
Имеются данные о
прибылях фирм и
ценах
 Данных о ресурсах и
выпуске нет
 Фирмы используют
одни и те же
технологии
 Поведение фирм
хорошо согласуется
с неоклассической
моделью
? Выполнить
статистическую
оценку функций
ресурсов и выпуска

p ( v, w )
xi ( v, w ) 
vi
p ( v, w )
y j ( v, w ) 
w j
Решение:



обосновываем функциональную
форму функции прибыли
выполняем статистическую оценку
её параметров
дифференцируем её по ценам
Возможно и решение обратной задачи
Экономические приложения выпуклого программирования: теоретический анализ
(с) Н.М. Светлов, 2007
5/10
9.2
Проверка гипотезы о соответствии
фирмы неоклассической модели
Требуются данные о прибылях фирм, ресурсах, выпусках и ценах
Выбираем функциональную форму для функции прибыли и статистически оцениваем её параметры
Дифференцируя функциональную форму функции прибыли по ценам, получаем формы для функций
выпуска и ресурсов
Статистически оцениваем параметры функций выпуска и ресурсов
Гипотеза отвергается, если различие в оценках одних и тех же параметров, входящих в функции прибыли,
выпуска и ресурсов, является значимым (т.е. не остаётся в пределах, объяснимых случайностью)
• Величина отклонения не должна выходить за границы интервала, охватывающего 95% вероятности возможных значений параметра
• Для выяснения этого вопроса используется информация о дисперсии оценки параметра и предположение об её нормальном
распределении
В противном случае нет оснований отвергнуть гипотезу
• Это не значит, что она безусловно верна; но имеющимся данным она не противоречит, и есть основания пользоваться ею в
практических приложениях, пока (если) она не будет отвергнута другими исследователями на другом (более подробном?) материале.
Экономические приложения выпуклого программирования: теоретический анализ
(с) Н.М. Светлов, 2007
6/10
Функциональная матрица задачи математиче9.3
ского программирования
max z ( x1 , x2 , , xn )
q ( x , x , , x ) „ 0
n
 1 1 2
q2 ( x1 , x2 , , xn ) „ 0


qm ( x1 , x2 , , xn ) „ 0

 z
 x
 q1
 1
 x1
 q2

 x1

 qm
 x
 1
z
x2
q1
x2
q2
x2
qm
x2
z
xn
q1
xn
q2
xn









qm 
xn 
Функциональная матрица состоит из функций
Если указана конкретная точка ( x1 , x2 , , xn ), то
функции можно заменить конкретными значениями
Нас будут интересовать не любые точки, а точки
Куна -Таккера
Экономические приложения выпуклого программирования: теоретический анализ
(с) Н.М. Светлов, 2007
7/10

9.3
max z ( x1 , x2 , , xn )
 q (x , x , , x ) „ 0
n
 1 1 2
q
(
x
,
x
,
,
x
 2 1 2
n)„ 0


qm ( x1 , x2 , , xn ) „ 0


 z
 x
 1
 q1
 x1
 q
 2
 x1

 qm
 x
 1
z
x2
q1
x2
q2
x2
qm
x2
z
xn
q1
xn
q2
xn









qm 
xn 
Каждая строка функциональной
матрицы представляет собой
вектор-градиент
соответствующей функции
(левой части неравенства или
целевой функции) в данной
точке
Условия Куна-Таккера предъявляют определённые
требования к векторам-градиентам функций, которые
соответствуют целевой функции либо ограничениям,
выполняющимся как строгие равенства


Ранг функциональной матрицы, составленной для этих
функций, в т.К.Т. окажется меньше числа её строк (в
других точках – равен).
Это означает, что из градиентов ограничений путём
линейной комбинации можно составить градиент,
направленный противоположно градиенту целевой
функции
• Чтобы его составить, нужно сложить векторы-градиенты
ограничений, умноженные на соответствующие множители
Лагранжа
Экономические приложения выпуклого программирования: теоретический анализ
(с) Н.М. Светлов, 2007
8/10

9.3



Приближение градиента целевой функции к
положению, соответствующему условиям К.-Т.,
аналогично сокращению конечного
потребления в МОБ
Для любого минора
ф.м.,
содержащего
строки
Конечное
ПроПроПродля ц.ф. и всех ограничений, выполняющихся
в
Цены
потреблецесс
1
цесс
2
цесс
3
т.К.Т. как строгие равенства, выполняется
ние
теорема
о
балансовой
системе
401,01 7,142
Благо 1
–
– 598,99
Если2ограничения
означают
400,01то 2,641
Благо
2000ЗМП
–2500
99,99ресурсы,
компоненты данного минора означают 2551
Благо 3
3449
1,376
удельные затраты–ресурса
на–6000
единицу
Финансовый
переменной в окрестности т.К.Т.
баланс
1859,47
3712,90
–7430,67
Значит, согласно
ТБС,1858,30
прирост
значения
любой 1
переменной, необходимый для увеличения
выпуска (снижения расходования)
ПроПро- благ
Про- вПроПроПроокрестности т.К.Т., объясняет
пропорции
цесс 1 цесс
2 цесс 3 цесс 4 цесс 5 цесс 6
множителей Лагранжа
Теорема о балансовой системе

Благо 1

–
598,99
380
Конечное
потребление
Цены
1
0,01
7,142
–
50
–
Благо 5
0,499
–
–
99
–100
это и обозначает, что из них складывается градиент,
Благо
6
0,5
0,5
1
–
направленный противоположно градиенту целевой. 1
–
1
2
0,5
–3
0,01
–
–
0,001
–
2,641
1,376
1,856
2,161
4,437
–
–0,1
1
То есть цен:Финансовый
см. слайд 10 лекции 7
баланс
0,09
–
0,009
–
Цены несут информацию о степени роста
масштаба системы, требуемого для выпуска
единицы блага

 10,348 1,459 1,057 
 8,473 4,237 0,917 
 4,871 2,435 1,765 
20
компоненты Благо
обратной
матрицы,
по ТБС,
2
2000 –2500
99,99
400
стремятся к решению
системы
уравнений
Yp=0
Благо 3
–
3449 –6000
2500
(см. слайд 11 лекции 2), которым в нашем случае
Благо 4
1000
1000
1998 –4000
будет вектор
множителей
Лагранжа


–
(–7430,67)B =
Так дело обстоит не только в линейном
межотраслевом балансе – так происходит в
любой хозяйственной системе, если только она
представима в форме задачи математического
программирования
0,001
(–0,1)B =
7,1424 2,6415 1,3759 1,8561 2,1608 4,4370
 7,1424 2,6415 1,3759 1,8561 2,1608 4,4369 
 7,1424 2,6415 1,3759 1,8561 2,1608 4,4370 
 7,1424 2,6415 1,3759 1,8561 2,1608 4,4370 
 7,1423 2,6415 1,3759 1,8561 2,1618 4,4371 
 7,1424 2,6415 1,3759 1,8561 2,1611 4,4703 
Экономические приложения выпуклого программирования: теоретический анализ
(с) Н.М. Светлов, 2007
9/10
9.4
Анализ компенсационных эффектов
при анализе потребительского спроса

Изучите самостоятельно

Шелобаев С.И. Экономико-математические методы и модели:
Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005.
— Раздел 4.3.

Знать (либо повторить):
•
•
•
•
•

Понятие «задача потребительского выбора»
Виды (функциональные формы) функции полезности
Использование метода Лагранжа для отыскания оптимума потребителя на
двухпродуктовом рынке
Понятия эффекта дохода и эффекта замены
Уравнение Слуцкого и его смысл
Экономико-математические методы и прикладные модели:
Учеб. пособие для вузов / Под ред. В.В. Федосеева. — 2-е изд.
М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. — Глава 8.1, параграф «Функции
потребительского спроса»


Знать понятия «кривые Энгеля» и «функции Торнквиста»
Знать классификацию товаров по Торнквисту
Экономические приложения выпуклого программирования: теоретический анализ
(с) Н.М. Светлов, 2007
10/10