Случайная величина

Метод Монте-Карло
Лямин Андрей Владимирович
Случайные величины
Вероятность случайного события - это мера
того, насколько велика возможность его
возникновения.
Вероятность изменяется от 0 (вероятность
невозможного события) до 1 (вероятность
достоверного события).
Случайная величина является более
обобщенным понятием случайного события.
Случайные величины могут быть дискретными
или непрерывными.
Дискретная
случайная величина
Случайная величина X называется
дискретной, если она может принимать
дискретное множество значений x1, x2,…,
x n.
x1
x2
…
xn
p1
p2
…
pn
p1 + p2 + … + pn = 1.
Характеристики
дискретных величин
• Математическое ожидание:
n
 =M[X ]   xi pi .
i 1
• Дисперсия:
 =D[X ]=M[(X   ) ]=M[X ]   .
2
2
2
2
Свойства
математического ожидания и
дисперсии
1) M[ X  c]  M[ X ]  c
2) M[cX ]  c M[ X ]
3) M[ X  Y ]  M[ X ]  M[Y ]
1) D[ X  c]  D[ X ]
2) D[cX ]  c D[ X ]
2
Непрерывная
случайная величина
Случайная величина называется непрерывной,
если она может принимать любое значение из
некоторого интервала (a, b).
Непрерывная случайная величина характеризуется функцией распределения F(x) и
плотностью вероятности f(x)
Функция распределения
Определение:
F ( x)  P( X  x).
Свойства:
1) 0  F ( x)  1 при x (; );
2) F ()  0, F ()  1;
3) x1  x2  F ( x1 )  F ( x2 )
Плотность вероятности
Определение:
b
P(a  X  b)   f ( x)dx.
a
Свойства:
1) f ( x)  0,

2)


f ( x)dx  1.
Характеристики
непрерывных величин
• Математическое ожидание:
b
 =M[X ]   x f ( x)dx.
a
• Дисперсия:
b
 2 =M[(X   )2 ]=  ( x   )2 f ( x)dx.
a
Законы распределения
Равномерное распределение:
f ( x)  1/(b  a)
  (b  a) / 2
  (b  a) /12
2
2
Законы распределения
Экспоненциальное распределение:
1
f ( x)  e


 
2
2

x

Законы распределения
Нормальное распределение:
f ( x) 
1
22
 ( x  )2
e
2 2
Независимые
случайные величины
Дискретные величины:
p ( x, y )  P( X  x, Y  y ), p ( x, y )  p X ( x) pY ( y ),
p X ( x)   p( x, y ), pY ( y )   p( x, y )
yB
xA
Непрерывные величины:
P( X  A, Y  B )    f ( x, y )dxdy,
B A
f ( x, y )  f X ( x) fY ( y ),

f X ( x) 



f ( x, y )dy, fY ( y ) 


f ( x, y )dx
Свойства независимых
случайных величин
1) M[ XY ]  M[ X ]  M[Y ]
2) D[ X  Y ]  D[ X ]  D[Y ]
Корреляция и
коэффициент корреляции
Корреляция случайных величин Xi и Xj:
kij  M [( X i  i )( X j   j )]  M [ X i X j ]  i  j .
Коэффициент корреляции:
ij 
kij
 i2 2j
.
Оценка корреляции
случайных величин
Xi+1
Xi+1
Xi
Xi+1
Xi
Xi
Функции
случайных величин

Y  ( X ), M[Y ] 
 ( x) f ( x)dx

1
 y b
 fX 
Y  aX  b  fY ( y ) 

|a|
 a 
X  U(0,1)  Y  U(b, a  b)
X  N(0,1)  Y  N(b, a )
2
Случайные процессы
Оп. 1: Отображение F, сопоставляющее каждому
элементу tT одну из случайных величин Xt,
называется случайной функцией на T. Сама
случайная величина называется Xt сечением
случайной функции F в точке t.
Оп. 2: Отображение f, сопоставляющее каждому
элементу tT число xt, называется реализацией
случайной функции F.
Оп. 3: Случайная функция F, заданная на
подмножестве T числовой прямой R, называется
случайным процессом на T.
Примеры
случайных процессов
• Число Xt -частиц, зарегистрированных
счетчиком за время наблюдения t.
• Колебания высоты Xt, регулируемого
автопилотом летательного аппарата в
момент времени t.
• Изменение во времени t атмосферного
давления Xt в данном географическом
пункте.
Стационарные
случайные процессы
i  
 
2
i
для i  T
2
i ,i  j   j
для i  T
для i, j  T
Центральная
предельная теорема
M [ X 1 ]  M [ X 2 ]  ...  M [ X n ]  ,
D[ X 1 ]  D[ X 2 ]  ...  D[ X n ]   ,
2


Yn 
X i  n  


2

n   i 1
1
n
y
1
 x2 / 2
P(Yn  y ) 

e
dx
n 

2 
Следствие
1
 ( x  )2
 3 

e
2 2
dx  0.997 
2 2 3
P (  3  X    3)  0.997 
1 n
3 
P   Xi   
  0.997
n
 n i 1
Метод Монте-Карло
Задача :
Вычислить параметр 
Решение :
1) X : M[ X ]  
2) x1 , x2 ,..., xn
1 n
3)    xi
n i 1
Пример
1
N
S
N
S
0
1