Сила Трения CF

Уравнение импульса
Вот что Вы должны знать из
предыдущего обучения!
dV/dt = PGF + G + Fr + CF + CE
PGF - СилаБаричГрадиента
G - Силя тяжести
Fr – Сила Трения
CF – Сила Кориолиса
CE - Центробежная Сила
Словами :
Ускорение = СилаБаричГрадиента +
+ СилаТяжести+СилаТрения
+СилаКориол+ЦентробежСила
Специфика движения
атмосферы:
G-Сила тяжести
действует только по
вертикали
 Сила барического
градиента имеет
маленькую
горизонтальную
составляющую PGF,
которая и вызывает
ветер
 Пример:
 dp/dz = 1 гПа / 8м
 dp/dх = 1 гПа /100 км

dV/dt = PGF + G + Fr + CF + CE
Помнить твердо:
PGF – Сила Барического Градиента
Это единственная сила,
которая вызывает движение
воздуха
Более точная запись закона движения атмосферы
dVгор/dt = PGFгор + Fr + CF + CE
0=PGFвер + G
PGFгор – СилаБаричГрадиента,
действ. по горизонтали.
PGFвер – СилаБаричГрадиента,
действ. по вертикали.
А вот это мы проходили в
статике!
Состояние покоя ─ это
равенство сил, действующих на
каждую частицу атмосферы
Силы
Силы
массовые
Силы
поверхностные
Силы
инерции
( в покое
равны нулю)
Основная массовая сила – сила
взаимного притяжения тел
Кавендиш Генри (17311810). (Он же открыл в
составе воздуха CO2)
G=6,67·10-11 [Н·м2/кг2]


Чтобы вычислить вес нужно
гравитационную массу тела (mГ)
умножить на ускорение силы тяжести
Земли (g)
Ускорение силы тяжести можно
получить из закона всемирного
тяготения
F= [G MГ /(R+z)2] mГ = g mГ
 g = [G MГ /(R+z)2]
Ускорение силы тяжести – это
вектор, направленный к центру
Земли, т.е. противоположно
нормали к ее поверхности
g = g·R/|R|



Вес тела – это сила
притяжения Землей
этого тела
F = [G·M/R2] ·m.
Вспомним: всякий вектор может
быть разложен по трем не
компланарным составляющим
Это свойство трехмерности нашего пространства
Поверхностные силы – это силы
внутреннего трения
P  Px  Py  Pz
Px  p xx i  p xy j  p xz k
Py  p yx i  p yy j  p yz k
Pz  p zx i  p zy j  p zz k
Сила, действующая на каждую грань бесконечно малого объема –
это вектор.
Поэтому поверхностные силы в каждой точке это
равнодействующая, т.е. сумма трех независимых векторов
Действие поверхностных сил на каждую точку
поверхности представляется произведением
тензора поверхностных сил
на вектор нормали поверхности (теорема Коши)

Pn  An 

An  Pnx  Pny  Pnz  n
Т.е. можно найти выражение для тройки векторов всех поверхностных сил
не зависящее от направления грани - тензор напряжений
Преобразование этого
произведения


Pn  An  An  Pnx  Pny  Pnz  n 
 An  cos( n , X )i  cos( n ,Y ) j  cos( n , Z )k  
 
 


  p xx  p yx  p zx i  p xy  p yy  p yx j  p xz  p yz  pzz k  



An
 p xx





 p yx  p zx cos( n , X )  p xy  p yy  p yx cos( n ,Y )  p xz  p yz  p zz cos( n , Z ) 
тот же результат дает матричное представление

 p xx

Pnx  Pny  Pnz  n   p yx

 p zx

p xy
p yy
p zy
p xz   n 
  x
p yz   n y   П  n
  
p zz   nz 
П - тензор поверхностных сил, выражающий их действие
независимое от ориентации площадки
Текучестью называется способность частиц
жидкости приходить в движение при любом, даже
бесконечно малом касательном напряжении.
В состоянии покоя, когда нет движения, нет и касательных
напряжений, т.е. тензор напряжений в покоящейся
жидкости (и газе) является диагональной матрицей
 p xx

П   pij    0

 0
0 
1 0 0 

0    p 0 1 0 



0 0 1 
0
p zz 
по закону Паскаля: p xx  p yy  p zz
0
p yy
соглашение Сопромата: p xx  p yy  p zz   p
В покоящейся жидкости все поверхностные силы вырождаются в давление
А теперь переходим к
динамике!
m· a = F
Движение = равенство сил,
действующих на каждую частицу
атмосферы, с учетом силы инерции
Силы
Сила
тяжести
Сила
барического
градиента
Силы инерции
(в покое равны нулю)
Сила трения (вблизи
поверхности особенно)
При движении возникают дополнительно силы инерции и
поверхностные силы (силы трения)
Принцип Деламбера: все силы,
действующие на точку должны быть
уравновешены
 ( F  a ) d   Pn  dA  0


 - объем частицы
 - площадь поверхности частицы
F  g   вектор силы тяжести
dV
a 
d - ускоренине частицы
dt


Pn  Pnx  Pny  Pnz

- равнодействующая поверхностных сил в точке
Напоминалка: теорема Остроградского

Смысл теоремы:

То, что потоки приносят в объем, либо уносится ими, либо
накапливается в нем
Обычная запись учебников по математике для ВТУЗов
Векторная запись, более компактная, принята в механике сплошных сред
 V  dS   DivV dV    V dV
S
V
V
V - вектор переноса субстанции  потоком со скоростью V
Преобразование поверхностных сил по
теореме Гаусса-Остроградского
 Pn dA 
A
  Pnx  cos( n, X )  Pny  cos( n,Y )  Pnz  cos( n, Z ) dA 
A
 Pnx Pny Pnz
 


 x

y
z


 d  

 p xx  i  p xy  j  p xz  k p yx  i  p yy  j  p yz  k p zx  i  p zy  j  p zz  k 


 d  
 

x

y

z


 p xx p yx p zx
  x  y  z
 

 p xy p yy p zy


  i  

x

y
z



 p xz p yz p zz


  j  

x

y
z


  Div  П  d 

 
  k  d  
 
Уравнение движения (импульса)


1
  F  a   Div( Pn )  d  



dV
1
 F  Div( Pn )
dt

выделяя давление из тензора поверхностных сил получим
p   p
xx
 xx
П   p yx   yx

 p 
zx
zx


xz 
p yy 
p
p yz   yz    p  I  T
yy

p zy   zy
p zz   zz  p 
 xx  xy  xz 
1 0 0 




I  0 1 0  T   yx  yy  yz 


0 0 1 
 zx  zy  zz 
p xy   xy
p xz 
dV
1
1
  g   p  Div( T )
dt


Системы координат


Геоцентрическая (абсолютная): неподвижная, начало в
центре Земли
Стандартная метеорологическая (относительная):
вращается вместе с Землей, начало в точке расчета на
поверхности Земли
Упражнение: записать уравнение импульса в абсолюной
системе декартовых координат
(чтоб неповадно было!)
 du u
  xx  yx  zx 

u

u

u
1

p
1


 u  v  w     




t
x
y
z
 x   x
y
z 
 dt


v
v
v
1 p 1   xy  yy  zy 
 dv v

 u  v  w     





dt

t

x

y

z


y


x

y

z




 dw w
w
w
w
1 p 1   xz  yz  zz

u
v
w
 g     




t
x
y
z
 z   x
y
z
 dt



Влияние вращения системы
координат на дифференцирование
A  A x i   Ay  j  Az k   A x i  Ay j  Az k
dAy 
dAy
dAx
dAz 
dA
dA dAx
di
dj
dk




i 
j
k 
i
j  z k  Ax  Ay  Az
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
di
dj
dk
 ωi
 ω j
 ω  k - по теореме Эйлера
dt
dt
dt
тогда
dA
dA

ωA
dt a dt o
где
dAy
dAx
dA
dA

i
j  z k , ω  A  ω  Ax i  ω  Ay j  ω  Az k
dt o
dt
dt
dt
Применение: относительные
скорость и ускорение
r  rx i  ry j  rz k  rx i   ry  j  rz k 
dr
dr

 ω  r или Va  Vo  ω  r
dt a dt o
d  Vo  ω  r 
dVa
dVa

 ω  Va 
 ω   Vo  ω  r  
dt a
dt o
dt
o

dVo
dV
dr
ω
 ω  Vo  ω   ω  r   o  2   ω  Vo   ω   ω  r 
dt o
dt o
dt o
2   ω  Vo  - это сила Кориолиса

ω   ω  r   ω   ω  r   ω  ω  r

ω   ω  r   ω  ω  r   r  ω  ω   0  r ω 2  r 2
"цаб"
"бац"
- это центробежная сила
Уравнение движения в относительной
системе координат
dV
1
1
  g  2  ω  V    p  Div( T )
dt


помнить, что

g  g  r 2

Ускорение Кориолиса
Во вращающейся геоцентрической системе
V  u,v,w , ω  0,0,
i
j
k
2ω  V  0 0   2v  i  2u  j
u v w
в стандартной метеорологической системе
V  u,v,w , ω  0,  co s  ,  sin  
i
j
k
2ω  V  0  co s   sin  
u
v
w
 2v sin   2w co s    i  2u sin   j  2u co s   k
Уравнения движения в
стандартной системе координат
 du
1 p
1   xx  yx  zx


     2v sin   2w co s    
 x
  x
y
z
 dt

1 p
1   xy  yy  zy 
 dv



     2u sin    
 y
  x
y
z 
 dt

 dw   g  1  p  2u co s   1    xz   yz   zz 


 dt
 z
  x
y
z 




Принципы моделирования
Кинематическое подобие
Динамическое подобие
Геометрическое подобие
Невозможность геометрического
подобия в геофизике
В 2007 году рабочие Дорогобужского химического завода решили сделать из старого
ГАЗГОЛЬДЕРА глобус. Получился самый большой глобус в Европе (больше только в НьюЙорк). Дорогобужский глобус достигает в высоту 12 метров, диаметра — 10,5 метра, вес 12
тонн, располагается на шести столбах в метре над землей. Шар расписывали
профессиональные смоленские художники под началом руководителя проекта, известного
дизайнера Михаила Шведова, который и задумал сделать его географической картой мира.
Слой атмосферы до 30 км (тропосфера и стратосфера) над этим глобусом представлял бы
собой пленку толщиной 2,5 см.
При теоретическом анализе соблюдают
требование постоянства масштабов
моделируемых переменных.

При выборе масштаба обычно принимают, что в
модели значения масштабируемой величины не
должны существенно отличаться от единицы.
u


um
U
или u  U  um
Например, если в реальных условиях составляющая
скорости u может меняться от нуля (штиль) до 40 м/с
(ураганный ветер), то выбрав в качестве масштаба
значение U=10 м/с, можно ожидать,
что аналогичная составляющая в модели um , будет
безразмерной и меняющейся от нуля до 4, так как в
условиях кинематического подобия должны
выполняться равенства.
Характерные масштабы
атмосферных движений
Характерные масштабы параметров
движений синоптического масштаба.
Горизон
Наименов тальны
ание
е
моделируе скорост
мой
и (u,v)
величины:
Верти
кальна
я
скорос
ть (w)
Горизон Вертик Горизо Пло Время
тальное альное нтальн тнос
(t)
расстоя расстоя
ое
ть
ние (x,y) ние (z) измене
(ρ)
ния
давлени
я (дp)
Обозначен
ие
масштаб
а:
U
W
L
Значение
масштаб
а:
10 м/с
0,01
м/с
1000000
м
H
ΔP
10000 м 1000 Па

Τ
(=L/U)
1
кГм-3
105 с
Пример введения безразмерных
переменных
Исходная форма
v
v v
v
1 p
1   xy  yy  zy
 u  v  w     2u sin    



t
x y
z
 y
  x
y
z
Введение безразмерных переменных
vm  UW
vm
U vm U 2  vm

 vm
wm

 um

 tm L  xm
ym  H
zm
 P 1 pm
ro  U 1   xym  yym  zym


 lU  lum 





roL m ym
ym
zm
roL2  m  xm
Если разделить все члены уравнения на один из множителей
порядка, то можно получить безразмерное уравнение







Оценка порядков слагаемых в уравнении
меридионального ускорения путем сравнения с
ускорением Кориолиса.
Параметр Кориолиса
l  2 sin 
Для оценки поверхностных
сил принята гипотеза
Ньютона
 xy  Txy  xym
Txy  ro   U
L
откуда
 xy Txy  xym ro   U  xym




2
x
L
xm
xm
L
Анализ главных факторов



Влияние молекулярной вязкости на эти потоки несущественно.
Главными динамическими факторами являются сила барического градиента и
сила Кориолиса.
С относительной ошибкой около 10% можно использовать уравнения
горизонтального движения синоптического масштаба в виде
Анализ вторичных факторов. Число
Россби-Кибеля Ro=U/(lL)
Ro 

U
lL
- число Россби
Ro  1
Преобладает ускорение Кориолиса
Ro  1
Оба фактора имеют равное значение
Ro  1
Преобладает относительное ускорение
Это безразмерный комплекс, который позволяет
оценить, какой из факторов компенсируют воздействие
силы барического градиента


относительное ускорение частицы воздуха
или ускорение Кориолиса
Роль числа Ro





При одинаковой величине барического градиента балансирующие его
ускорения могут быть различными для движений с разным
горизонтальным масштабом L.
При L ≈ 1000 км и Ro< 1 выполняется баланс, который называется
геострофическим равновесием.
Но если рассматриваются процессы, у которых L ≈ 100 км, то Ro≈1 и
баланс градиентным равновесием.
Для процессов еще меньшего масштаба L ≈ 10 км и менее уже Ro>1 и
главным становиться баланс между барическим градиентом и
относительным ускорением.
(В зарубежной литературе этот случай иногда называют
циклострофическим равновесием).
Анализ масштабов вертикального
движения атмосферы
w
w
w
w
1 p
1   xz  yz  zz
u
v
w
  g    2u co s    



t
x
y
z
 z
  x
y
z
1 p
  g
 z



движения атмосферы происходят
квазистатически
Выпишем систему уравнений, которая, как
показывает анализ методом подобия, правильно
описывает эволюцию атмосферы в течение 1 - 5
суток
u
u
u
1 p
 u

u

v

w


  l v
 t
x
y
z
 x

dV
1
v
v
v
1 p
 v
  g  2  ω V    p    u  v  w     l  u
dt

x
y
z
 y
 t

p
 g 


z

div( U )  0 
 u v 
w
 
 
z
 x y 
p

RT
d
T   T
T   T   RT dP
0 
   u
 v    w  
,
dt
t   x
y   z   СP P dt
Уравнения преобразуются в дискретную
форму, когда переменные определяются
через их значения в узлах сетки
Вычисления ведутся шагами по времени по сезонам или векам
в зависимости от целей исследователя
Имитационное моделирование в
метеорологии требует суперкомпьютеров
Суперкомпьютер ASCI White имеет предельную производительность в 12
триллионов 288 миллиардов операций в секунду. До настоящего
времени эта машина так и не была использована на полную
мощность: пока предельная зафиксированная скорость - 7
триллионов 226 миллиардов операций в секунду.
Некоторые свойства этой системы
уравнений нам и предстоит изучить