Энергетические характеристики. Законы - Medphysics

Лекция 3
1.2.6. Энергетические характеристики.
Законы сохранения энергии для световых волн.
Электромагнитное поле характеризуется объемной плотностью энергии:
2  2
E H
w
8
Рассмотрим электромагнитную
волну с напряженностями электрического и


магнитного полей E и H соответственно.
Запишем уравнения Максвелла:

 
1 H
rotE   c t



1

E
rotH 

c t


Умножим скалярно первое уравнение на H , второе на E и вычтем одно из
другого:
   
1   2 2
HrotE  ErotH  
(H  E )
2c t
     
используя соотношение div a  b  b rota  arotb , получим:




 
1   2 2
div E  H  
(H  E )
2c t
или
 
4 
div E  H  
w
c t




c  
EH
4


w   divS
Тогда
t
Введем вектор S 

Проинтегрируем полученное выражение по объему V :


wdV


div
S
dV


t V
V
d
Согласно теореме Остроградского-Гаусса:


n

 divSdV   ( S  n )d
v
V

Так как  wdV  W - энергия электромагнитного поля в объеме
V

V , то закон сохранения энергии имеет вид:
 

c
W 
 ( S  n )d
t
4 

Вектор S носит название вектора Умова – Пойтинга и определяет
плотность потока энергии переносимой в направлении нормали к площадке.
(Энергия переносимая в единицу времени, через ед. площадки по направлении
нормали)
 
В изотропных средах направление S и k совпадают, т.е. волновой вектор
направлен по направлению распространения потока энергии.
Направление “луча”
 определяется направлением вектора распространения
энергии т.е. вектором S .
Примечание:
В анизотропных средах уравнения Максвелла имеют вид:
    
[k  E ]  c H
  

[k  H ]    E

c
  
(k  D)  0
  
(k  H )  0


так как векторы D и  E не совпадают в этом случае по направлению, то
направление вектора k показывает направление распространения фаз, а не
энергий.
Для характеристики световых волн вводится понятие интенсивности,
I  S (t , r )  которое определяется средним по времени значением модуля
вектора Умова-Пойтинга. Частота оптических колебаний   1014 Гц . Время
наблюдения оптических явлений на несколько порядков превышает период
колебаний Tн 
1

.
Найдем интенсивность плоской волны:

E x  H y  A cos(t  k r )


c 2
c 2 c 2

S (t , r ) 
A cos 2 (t  k r ) 
A 
A cos 2(t  k r )
4
8
8
c 2
I
A
8
2
*
Если напряженности записаны в комплексной форме, то A  E  E , тогда
c
I
 E  E* 
8
Примечание: при работе с комплексной формой следует учесть, что если A и B
комплексные числа, то Re A  Re B  Re( AB ) .
Рассмотрим более подробно, т.к. переход от комплексной формы к реальной, нам
потребуется в дальнейшем.
Пусть
A(r , t )  A0 (r )e it
B(r , t )  B0 (r )e it
A(r , t )  A* (r , t )
Re A 
2
В этом случае
(по формуле Эйлера)
*
B(r , t )  B (r , t )
Re B 
2
*
A0 (r )e  it  A0* (r , t ) B0 (r )e  it  B0 (r )e it
Re A  Re B 


2
2
*
A0 (r ) B0 (r )e  2it  A0 (r ) B0 (r )  A0 (r ) B0* (r )  A0* B0* e 2it

4
1
Re( A0 B0*  A0 B0 e  2it )
2
В результате усреднения:
 Re A  Re B 
1
1
Re AB*  Re A*B
2
2
При использовании комплексной записи в общем виде
I
c
Re( E  E * )
8
или
I
c
Re( H  H * )
8
Энергетические характеристики пучков и импульсов.
Пучок – это световой поток ограниченного сечения. Если по сечению пучка
меняется только амплитуда, а волновой фронт остается постоянным, то такая
волна называется квазиплоской.
E( x, y, z, t )  A( x, y) cos(t  kr)
Тогда интенсивность такой волны также зависит от координат
I ( x, y ) 
c 2
A ( x, y )
8
Можно заменить такой пучок цилиндрическим пучком, введя эффективную
интенсивность и эффективный радиус.
P  I эrэ2 ; I э 
P
rэ2
Пример:
Рассмотрим Гауссов пучок,
которого изменяется по закону:
интенсивность
x2  y2
I ( x, y )  I 0 exp( 
)
r02
I0
Найдем полную мощность в таком пучке
P   I ( x, y)dxdy .
x2  y2
P   I 0 exp( 
)dxdy ,
2
r0


r0
x
учтем, что
x2
 exp(  2 )dx  r0  , (интеграл Пуассона),
r0


получим
P  I 0r02
В этом случае эффективная интенсивность равна I 0 , а эффективное сечение
пучка r0 , где r 0 - эффективный радиус, равный расстоянию на котором
интенсивность уменьшается в e раз.
Импульс –ограниченный во времени поток энергии W  P   э
2
Для импульса I э 
W
rэ2 э
Оценки и цифры:
1. He-Ne – лазер
P(t)
Pэ
э
  0,63мкм
P  10  2 Вт
rэ  2  10 1 см
10  2
Iэ 
 0,1 Вт 2
2
см
4  10
Напряженность поля световой волны
E0 
E0 
8I
c
8    0,1  107
10
3  10
 3  102 CGSE  10 в
см
2. Лазер работающий в импульсном режиме
Режим свободной генерации:
  10 3 с,W1  1дж
Мощность
P  103 Вт
Напряженность электрического поля
E0  103 В см
Режим модулированной добротности:
  10 8 с,W  0,1дж
Мощность
P  107 Вт
t
Напряженность электрического поля
E0  105 В см