Оригинал и изображение. Теорема обращения Математический анализ Раздел: операционное исчисление

Математический анализ
Раздел: операционное исчисление
Тема: Оригинал и изображение.
Теорема обращения
Лектор Янущик О.В.
2013 г.
§ 1. Оригинал и изображение. Теорема обращения
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.
Пусть f(t):ℝℂ. Функция f(t) называется оригиналом, если
1) f(t) и ее производная f (t) определены и непрерывны на ℝ
за исключением может быть отдельных точек разрыва
I рода, число которых на любом интервале конечно;
2) f(t) = 0, t < 0 ;
st
3) f (t )  Me 0 , где M,s0 – const , s0  0 (s0 называют
порядком роста функции f(t)).
ПРИМЕР. Единичная функция Хэвисайда:
1, t  0 ;
 (t )  
0 , t  0 .
Замечание.
Если для функции (t) выполняются условия 1 и 3 определения 1, то функция (t)(t) будет являться оригиналом.
В дальнейшем будем писать sint , cost и т. д. подразумевая
sint(t) , cost(t) и т. д.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Пусть f(t) – оригинал. Изображением функции
f(t)
(преобразованием Лапласа функции f(t)) называется фкп
F(p) , определяемая равенством

F ( p) 

f (t )  e  pt dt .
0
ЗАПИСЫВАЮТ: F(p) = L[f(t)] , F(p) ≓ f(t) , f(t) ≓ F(p) .
ТЕОРЕМА 2.
Если f(t) – оригинал с показателем роста s0 , то его
изображение F(p) является аналитической функцией в
полуплоскости Rep > s0 .
ТЕОРЕМА 3 (обращения).
Пусть f(t) – оригинал, f(t) ≓ F(p) . Тогда в любой точке
непрерывности функции f(t) имеет место равенство
1
f (t ) 
F ( p)  e pt dp
(1)
2i

C
где C – любая прямая Rep = a > s0 .
Замечание. Интеграл в
значения, т.е.
(1)
понимается в смысле главного
pt
F
(
p
)

e
dp  lim

a bi
b  
C
pt
F
(
p
)

e
dp

a bi
Принято писать:
lim
b  
a bi
a  i
a bi
a i
pt
F
(
p
)

e
dp 

pt
F
(
p
)

e
dp

ТЕОРЕМА 4.
Пусть для функции F(p) выполнены условия:
1) F(p) аналитична в полуплоскости Rep > s0 (где s0 – некоторое неотрицательное число);
2) lim F ( p)  0 в любой полуплоскости Rep a > s0 ;
p 
3) интеграл
a  i
 F ( p)dp
сходится абсолютно.
a i
Тогда F(p) является изображением некоторой функции,
которая может быть найдена по формуле (1) .
Теорема 5 (существования изображения). Для всякого
оригинала f(t) существует изображение F(p), определенное в
полуплоскости Rep = s > s0,
где s0 – показатель роста
оригинала. В каждой точке этой полуплоскости функция F(p)
имеет производную любого порядка. Кроме того, если
Rep = s → 0, то изображение F(p)→ 0.
Теорема 4. (единственности оригинала). Если F(p) является
изображением двух оригиналов f1(t) и f2(t), то эти оригиналы
совпадают во всех точках, в которых они непрерывны.
Лемма. Если для комплексного числа z = x +iy x > 0 и b –
действительная переменная, то