F ( p )

IX. Изображение периодического оригинала
Если
то
f( t ) ≓ F( p ), и f( t ) – периодическая функция с периодом T > 0,
T
1
pt
(1.9)
F  p 
f
t

e
dt

 pT 
1 e
0
Х. Свёртка функций. Теорема умножения
Пусть f ( t ) и j ( t ) непрерывны для значений
Свёрткой этих функций называется интеграл
t >0.
t

f * j  f ( )  j (t   ) d
Теорема 1.2.
(1.10)
0
f( t ) ≓ F( p ), j( t ) ≓ F ( p ), то произведение изображений
F( p ) .F ( p ) является изображением свёртки оригиналов:
F( p ) .F ( p ) ≓ f ( t ) * j ( t )
(1.11)
Если
умножение изображений
изображений
равносильно
свёртыванию
оригиналов
этих
XI. Интеграл Дюамеля
Если
f( t ) ≓ F( p ), j( t ) ≓ F ( p ), то
t
p .F( p ) .F ( p ) ≓ f (0)j (t )   j ( ) f (t   )d
(1.12)
0
Замечание
В силу симметричности операции свертки
t

f( t ) * j( t ) = j ( t ) * f ( t )
t

f (0)j (t )  j ( ) f (t   )d  f (0)j (t )  j (t   ) f ( )d
0
0
Таблица оригиналов и изображений
№
f(t)
F (p)
№
f(t)
F (p)
1
h (t)
6
ch(b t)
p
2
tn
1
p
n!
7
sh(b t)
3
4
ea t
cos(b t)
p n 1
p b
5
sin(b t)
8
9
2
b
p2  b
b
p2  b 2
1
p a
p
2
p2  b 2
10
2
1
t
t
– ln t – C

p

2p p
ln p
p
§ 2. Нахождение оригинала по изображению
Теорема 2.1. (единственности).
F(p) является изображением оригиналов f1 ( t ) и f2 ( t ),
то эти оригиналы равны во всех точках t , где функции f1 ( t ) и f2 ( t )
Если функция
непрерывны
I. Линейная комбинация.
II. Представление изображение рядом.
Теорема 2.2. (Первая теорема разложения ).
Если функция F( p ) аналитическая в бесконечно удалённой точке p =
и разложение её в ряд Лорана в окрестности указанной точки имеет вид:
 a
a0 a1 a2
an
n
F p 
 2  3   n 1   
n 1
p p
p
p
p
n 0
 
∞

то F( p ) является изображением оригинала f ( t ) , определяемого
степенным рядом
 a
an n
a1
a2 2
n n
f t  a0  t  t    t   
t
( 2.1 )
1!
2!
n!
n  0 n!
сходящимся для всех t > 0


Теорема 2.3. (Вторая теорема разложения ).
F1  p 
Если F  p  
– правильная несократимая рациональная дробь,
F2  p 
и знаменатель имеет корни p1 , p2 , …, pk кратностей r1 , r2 , …, rk
( r1 + r2 + …+ rk = n ), то оригиналом служит функция
f t  
e

k 1
( r 1)
k

1
rk F1  p  pk t 
lim  p  pk 
e 
rk  1! p pk 
F2  p 
p
( 2.2 )
В частности
есть простой корень
lim  p  p s 
p ps
все корни знаменателя простые
F1  p  pt
e
F2  p 
f t  
F1  pk  pk t
 F '  p e
k 1 2
k
n
( 2.3 )
( 2.3* )
Теорема 2.4. (Теорема обращения ).
f ( t ) –оригинал с показателем роста s0 , и F ( p ) – её
изображение, то в любой точке непрерывности f ( t ) имеет место
Если функция
формула
где
c
1
pt
f t  
F
p

e
dp



2 i c
( 2.4 )
– любая прямая, параллельная мнимой оси и отстоящая от неё на
расстоянии
s > s0 .
Замечание. Так как интеграл вычисляется по прямой, то формулу
записывают в виде
(2.4)
s  i
1
pt
f (t ) 
F
(
p
)

e
dp

2 i s  i
и называют формулой обращения преобразования Лапласа
( 2.5 )
Условия изображения
Функция F
а)
( p ) будет изображением оригинала, если:
F( p ) – аналитическая функция в полуплоскости Re p = s > s0 , где
s0
– некоторое положительное число;
б) F
(p)→0
при значениях Re

p = s > s0
и
| p | → ∞;
 F s  i  d
в) сходится интеграл

Пусть изображение F ( p ) есть аналитическая функция всюду кроме
конечного числа изолированных особых точек: p1 , p2 , , pk и lim F p
p 
тогда при всех
f (t ) 
  0
t>0
1
2 i
s i

F ( p)  e dp 
s i
pt
n

k 1
res [ F ( pk )e pk t ]
( 2.5 )