Аналитическая геометрия на плоскости

Дисциплина ЛААГ
(линейная алгебра
и аналитическая геометрия)
Кафедра высшей
математики
ТПУ
Лектор:
доцент
Тарбокова
Татьяна
Васильевна
Тема 3. Аналитическая
геометрия на плоскости
• Разделы
• 1. Прямая
на плоскости
• 2. Кривые второго порядка
Аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия – раздел геометрии, в котором
простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости,
кривые и поверхности второго порядка) исследуются
средствами алгебры.
Линией на плоскости называют геометрическое место точек
M(x;y), координаты которых удовлетворяют уравнению
F(x,y) = 0,
(1)
где F(x,y) – многочлен степени n.
Поверхностью называют геометрическое место точек M(x;y;z),
координаты которых удовлетворяют уравнению
F(x,y,z) = 0,
(2)
где F(x,y,z) – многочлен степени n.
Линией в пространстве называют пересечение двух
поверхностей.
Уравнения (1) и (2) называют общими уравнениями линии на
плоскости и поверхности соответственно.
Степень
многочлена F(x,y) ( F(x,y,z) ) называют порядком линии
(поверхности).
§ Прямая на плоскости
1. Общее уравнение прямой на плоскости и его
исследование
ЗАДАЧА 1. Записать уравнение прямой, проходящей через
точку M0(x0;y0), перпендикулярно вектору N  { A, B}
N
M0
r0
O
r
M
r  r0 , N   0 и A ( x  x 0 )  B ( y  y 0 )  0
Уравнения
называют уравнением прямой, проходящей через точку
M 0 ( x0 , y0 )
N  { A, B }
перпендикулярно вектору
(в
векторной и координатной форме соответственно).
Уравнения r , N   C  0 и Ax  By  C  0 называют
общим уравнением прямой на плоскости (в векторной
и координатной форме соответственно).
ВЫВОДЫ:
1) Прямая на плоскости является линией первого порядка. В
общем случае она задается уравнением Ax+By+C = 0, где
A,B,C – числа.
2) Коэффициенты A и B не обращаются в ноль одновременно,
так как с геометрической точки зрения это координаты
вектора, перпендикулярного прямой.
Вектор, перпендикулярный прямой, называют нормальным
вектором этой прямой.
ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ.
Если в уравнении Ax+By+C = 0 все коэффициенты A,B и C
отличны от нуля, то уравнение называют полным; если хотя
бы один из коэффициентов равен нулю – уравнение называют
неполным.
1) Пусть общее уравнение прямой – полное. Тогда его можно
x y
записать в виде
a

b
1
(5)
y
B(0; b)
A(a; 0)
x
С геометрической точки зрения a и b – отрезки, отсекаемые
прямой на координатных осях Ox и Oy соответственно.
Уравнение (5) называют уравнением прямой в отрезках.
2) Пусть в общем уравнении прямой коэффициенты A и B –
ненулевые, а C = 0, т.е. уравнение прямой имеет вид
Ax+By = 0.
Такая прямая проходит через начало координат O(0;0).
y
O(0; 0)
x
3) Пусть в общем уравнении прямой один из коэффициентов A
или B – нулевой, а C  0, т.е. уравнение прямой имеет вид
Ax+C = 0
или
By+C = 0.
Эти уравнения можно записать в виде
x=a
и
y=b.
y
y
B(0; b)
A(a; 0)
x
x
4) Пусть в общем уравнении прямой C = 0 и один из
коэффициентов A или B тоже нулевой, т.е. уравнение
прямой имеет вид
Ax = 0 или By = 0.
Эти уравнения можно записать в виде
x = 0 (уравнения координатной оси Oy)
и
y = 0 (уравнения координатной оси Ox).
Замечание. Пусть прямая ℓ не проходит через O(0;0).
y


P0
x
O
Обозначим:
1) P0(x0;y0) – основание перпендикуляра, опущенного на ℓ из
начала координат,
2) n  {cos  , cos  } – орт вектора OP0 .
3) p  OP 0 – расстояние от начала координат до прямой
Тогда уравнение ℓ можно записать в виде
cosα·x + cosβ·y + C = 0,
где C = – p .
Этот частный случай общего уравнения прямой называется
нормальным уравнением прямой.
2. Другие формы записи уравнения прямой на плоскости
1) Параметрические уравнения прямой
ЗАДАЧА 2. Записать уравнение прямой, проходящей через
точку M0(x0;y0), параллельно вектору   {m; n}
Вектор, параллельный прямой, называют направляющим
вектором этой прямой.
M0

r0
O
r
M
x  x0  t  m,

Уравнение r  r0  t  и систему уравнений 
y  y0  t  n .
называют параметрическими уравнениями прямой (в
векторной и координатной форме соответственно).
2) Каноническое уравнение прямой на плоскости
Пусть в задаче 2 вектор  не параллелен ни одной из
координатных осей (т.е. m  0 и n  0 ).
x  x 0 y  y0

Уравнение
называют каноническим
m
n
уравнением прямой на плоскости.
3) Уравнение прямой, проходящей через две точки – частный
случай канонического уравнения прямой.
Пусть прямая проходит через две точки M1(x1,y1) и M2(x2,y2) .
M1
M2
x  x1
y  y1

Уравнение
называют уравнением прямой,
x 2  x 1 y 2  y1
проходящей через две точки M 1 ( x 1 , y1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) .
4) Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Пусть прямая ℓ не параллельна оси Ox. Тогда она
пересекается с Ox, образуя при этом две пары вертикальных
углов.
y
y


x
x
Угол  , отсчитываемый от оси Ox к прямой ℓ против часовой
стрелки, называют углом наклона прямой ℓ к оси Ox.
Число k = tg (если оно существует, т.е. если прямая ℓ не
параллельна оси Oy) называют угловым коэффициентом
прямой.
Для прямой, параллельной оси Ox, угол наклона прямой к
оси Ox считают равным нулю. Следовательно, угловой
коэффициент такой прямой k = tg0 = 0.
Пусть прямая ℓ не параллельна оси Ox и Oy и проходит через
точки M1(x1,y1) и M2(x2,y2) (где x1 < x2). Найдем угловой
коэффициент этой прямой.
y
y
M2
M1
M1
K
P

M2

x

x
y2  y1
.
x 2  x1
Уравнение прямой, проходящей через две точки перепишем в
y 2  y1
y  y1 
 x  x 1 
виде:
x 2  x1
Получили: k  tg  
Уравнение y – y1 = k·(x – x1) – это уравнение прямой,
проходящей через точку M1(x1,y1) и имеющей угловой
коэффициент k.
Перепишем это уравнение в виде y = kx + b (где b = y1 – kx1).
Его
называют
уравнением
прямой
с
угловым
коэффициентом. С геометрической точки зрения b –
отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy.
Замечание. Уравнение прямой с угловым коэффициентом было
получено в предположении, что прямая не параллельна оси
Ox и Oy. Для прямой, параллельной Ox общее уравнение
можно
рассматривать
как
уравнение
с
угловым
коэффициентом. Действительно, уравнение такой прямой
y = b или y = 0·x + b,
где k = 0 – угловой коэффициент прямой.
3. Взаимное расположение прямых на плоскости
На плоскости две прямые могут:
а) быть параллельны,
Пусть уравнения прямых ℓ1 и ℓ2
ℓ1: A1x + B1y + C1 = 0
ℓ2: A2x + B2y + C2 = 0
1) Пусть прямые параллельны:
б) пересекаться.
имеют вид:
или y = k1x + b1
или y = k2x + b2
N1
N2
1
1
2
1
2
2
x
Получаем, что прямые ℓ1 и ℓ2 параллельны тогда и
только тогда, когда в их общих уравнениях
коэффициенты при соответствующих текущих
координатах пропорциональны, т.е.
A1
A2

B1
B2
или их угловые коэффициенты равны, т.е.
k1 = k2 .
2) Пусть прямые пересекаются
N2
1
1
2
cos 1,2  
( N1, N 2 )
N1  N 2

1
2
N1
1
A1A 2  B 1B 2
( A 1 )2  ( B 1 )2  ( A 2 )2  ( B 2 )2
где знак плюс берется в том случае, когда надо найти
величину острого угла, а знак минус – когда надо найти
величину тупого угла.
(N1 , N2 )  A1 A2  B1B 2  0 
критерий перпендикулярности прямых, заданных общими
уравнениями.
2
1
1
1
tg  1,2  
2
x
k 2  k1
1 k 2  k1
где знак плюс берется в том случае, когда надо найти величину
острого угла, а знак минус – когда надо найти величину тупого
угла.
1
k2  

k1
критерий перпендикулярности прямых, имеющих угловые
коэффициенты k1 и k2.
4. Расстояние от точки до прямой
ЗАДАЧА 3. Пусть прямая ℓ задана общим уравнением
Ax + By + C = 0 ,
M0(x0;y0) – точка, не принадлежащая прямой ℓ.
Найти расстояние от точки M0 до прямой ℓ .
M0
N
d

M1
d
( N, M1M 0 )
N

Ax0  By0  C
A2  B 2
§ Кривые второго порядка
Кривые второго порядка делятся на
1) вырожденные
и
2) невырожденные
Вырожденные кривые второго порядка это прямые и точки,
которые задаются уравнением второй степени. Если
уравнению второго порядка не удовлетворяет ни одна точка
плоскости, то тоже говорят, что уравнение определяет
вырожденную кривую (мнимую кривую второго порядка).
Невырожденными кривыми второго порядка являются эллипс,
окружность, гипербола и парабола.
1. Эллипс и окружность
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллипсом называется геометрическое место
точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух
фиксированных точек плоскости F1 и F2 есть величина
постоянная и равная 2a (2a>|F1F2|).
Точки F1 и F2 называют фокусами эллипса.
Выберем декартову прямоугольную систему координат так,
чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ox на одинаковом
расстоянии от O.
M
F1
В такой системе координат:
F1(–c;0) и
где |OF1| = |OF2| = c.
O
F2
F2(c;0) ,
Уравнение (1):
x2 y2
 2 1
2
a
b
называется каноническим уравнением эллипса. Система
координат, в которой эллипс имеет такое уравнение,
называется его канонической системой координат.
СВОЙСТВА ЭЛЛИПСА
1) Эллипс лежит внутри прямоугольника, ограниченного x=a,
y=b.
2) Эллипс имеет центр симметрии (начало координат) и две оси
симметрии (оси Ox и Oy).
Центр симметрии эллипса называют центром эллипса. Ось
симметрии эллипса, проходящую через фокусы (ось Ox)
называют большой (или фокальной) осью симметрии, а
вторую ось (ось Oy) – малой осью.
3) Из уравнения эллипса получаем:
b 2
y
a  x2
a
b
y
a2  x2
Исследуем
кривую
a
разработанными в математическом анализе:
методами,
а) D ( y )  [  a; a ] , y ( a )  0 ;

b 
x
.
б) y     
2
2 
a 
a x 
 функция возрастает при x  (a; 0) (y   0 ),
убывает – при x  (0; a) (y   0 ),
экстремум (максимум) в точке x  0 , y (0)  b ;
в) y   
ab
(a 2  x 2 ) 3
 0  кривая всюду выпуклая.
y
B2
A1
F2
F1
A2
x
B1
Точки A1 , A2 , B1 , B2 называются вершинами эллипса.
Отрезок A1A2 и его длина 2a называются большой (фокальной)
осью, отрезок B1B2 и его длина 2b – малой осью.
Величины a и b называются большой и малой полуосью
соответственно.
Длина отрезка F1F2 (равная 2c) называется фокусным
расстоянием. Если M – произвольная точка эллипса, то
отрезки MF1 , MF2 и их длины r1, r2 называются
фокальными радиусами точки M
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина  , равная отношению фокусного
расстояния эллипса к его большой оси, называется
эксцентриситетом эллипса, т.е.
2c c

2a
Так как c  a 2  b 2  a , то 0    1 .
Величина  характеризует форму эллипса.

a
Зная эксцентриситет эллипса легко найти фокальные радиусы
точки M(x;y): r1  MF1  a   x , r2  MF2  a   x .
Замечания.
1) Пусть в уравнении эллипса a = b = r. Для этой кривой
c
2
2
c  a b  0,
 F1  F2  O ,    0 .
a
Геометрически, это означает, что точки кривой равноудалены
(на расстояние r) от ее центра O, т.е. кривая является
окружностью.
Каноническое уравнение окружности принято записывать в
виде
x2 + y2 = r2 , где r – расстояние от любой точки
окружности до ее центра; r называют радиусом окружности.
2) Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2
были на оси Oy на одинаковом расстоянии от начала
координат, то уравнение эллипса будет иметь вид
x2 y 2
 2 1
2
b
a
Для этого эллипса большая ось – ось Oy, малая ось – ось Ox,
фокусы имеют координаты F1(0;–c) и F2(0;c) , где c  a 2  b2
Фокальные радиусы точки M(x;y) находятся по формулам
r1  MF1  a   y , r2  MF2  a   y .
y
A2
F2
x
B2
B1
F1
A1
2. Гипербола
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гиперболой называется геометрическое
место точек плоскости, модуль разности расстояний от
которых до двух фиксированных точек плоскости F1 и F2
есть величина постоянная и равная 2a (2a < |F1F2|).
Точки F1 и F2 называют фокусами гиперболы.
Выберем декартову прямоугольную систему координат так,
чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ox на одинаковом
расстоянии от O.
M
O
F1
В такой системе координат:
F1(–c;0)
где |OF1| = |OF2| = c.
и
F2
F2(c;0) ,
Уравнение (2):
x2 y2
 2 1
2
a
b
называется каноническим уравнением гиперболы. Система
координат, в которой гипербола имеет такое уравнение,
называется ее канонической системой координат.
СВОЙСТВА ГИПЕРБОЛЫ
1) Точек гиперболы нет в полосе, ограниченной прямыми x=a.
2) Гипербола имеет центр симметрии (начало координат) и две
оси симметрии (оси Ox и Oy).
Центр симметрии гиперболы называют центром гиперболы.
Ось симметрии гиперболы, проходящую через фокусы (ось
Ox) называют действительной (или фокальной) осью
симметрии, а вторую ось (ось Oy) – мнимой осью.
3) Из уравнения гиперболы получаем:
b 2
x  a2
a
b 2
y
x  a2
Исследуем
кривую
a
разработанными в математическом анализе:
y
методами,
а) D( y )  (;  a]  [a;  ) , y ( a )  0 ;
b 2
b
2
x  a имеет асимптоты y   x .
б) Линия y 
a
a
Прямая ℓ называется асимптотой кривой, если расстояние от
точки M кривой до прямой ℓ стремится к нулю при удалении
точки M от начала координат.
Существуют два вида асимптот – вертикальные и наклонные.
Вертикальные асимптоты кривая y=f(x) имеет в тех точках
разрыва II рода функции y=f(x) , в которых хотя бы один из
односторонних пределов функции равен бесконечности.
Наклонные асимптоты кривой y=f(x)
имеют уравнение
y=k1,2x+b1,2 , где
k1,2
f ( x)
 lim
,
x   x
f ( x)  k1, 2 x  .

x  
b1,2  lim
b
x
в) y   
.
a x2  a2
 функция возрастает при x  ( a;   ) (y   0 ),
убывает – при x  ( ;  a ) (y   0 ),
экстремумов нет
(критические точки x  0  D ( y ) и x   a – граничные).
г) y  
 ab
( x 2  a 2 )3
 0  график всюду выпуклый.
y
b B2
F1
a
A2
A1
F2
x
b B1
Точки A1 , A2 называются вершинами гиперболы.
Отрезок A1A2 и его длина 2a называются действительной
(фокальной) осью, отрезок B1B2 и его длина 2b – мнимой осью.
Величины a и b называются действительной и мнимой
полуосью соответственно.
Длина отрезка F1F2 (равная 2c) называется фокусным
расстоянием. Если M – произвольная точка гиперболы, то
отрезки MF1 , MF2 и их длины r1, r2 называются фокальными
радиусами точки M
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина  , равная отношению фокусного
расстояния гиперболы к ее действительной оси, называется
эксцентриситетом гиперболы, т.е. 2c c

2a

a
Так как c  a 2  b 2  a , то   1 .
Величина  характеризует форму гиперболы.
Зная эксцентриситет гиперболы легко найти фокальные радиусы
точки M(x;y). Если точка M лежит на правой ветке
гиперболы (т.е. x > 0), то
r1  MF1  a   x , r2  MF2  a   x .
Если M лежит на левой ветке гиперболы (т.е. x < 0), то
r1  MF1  (a   x) , r2  MF2  (a   x) .
Замечания.
1) Если в уравнении гиперболы a=b, то гипербола называется
равнобочной.
Асимптоты равнобочной гиперболы, перпендикулярны.
 можно выбрать систему координат так, чтобы
координатные оси совпали с асимптотами. Тогда уравнение
гиперболы будет
xy=0,5a2 .
(3)
Уравнение (3) называют уравнением равнобочной гиперболы, отнесенной к асимптотам.
2) Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2
были на одинаковом расстоянии от O(0;0), но лежали на Oy,
то уравнение гиперболы будет иметь вид
y
x2 y2
 2  2 1
F2
b
a
aA
Для этой гиперболы:
2
действительная ось – ось Oy,
мнимая ось – ось Ox,
x
b
2
2
b
F1(0;–c) и F2 (0;c) (где c  a  b
)
a
асимптоты: y   x
A1
b
фокальные радиусы точки M(x;y) находятся
F1
по формулам
r1  MF1  a   y , r2  MF2  a   y (при y  0 )
r1  MF1  (a   y ) , r2  MF2  (a   y ) (при y  0 ).
3. Парабола
Пусть ℓ – некоторая прямая на плоскости, F – некоторая точка
плоскости, не лежащая на прямой ℓ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Параболой называется геометрическое
место точек плоскости, расстояние от которых до
фиксированной прямой ℓ и до фиксированной точки F (не
лежащей на прямой ℓ) одинаково.
Точку
F
называют фокусом параболы,
прямую ℓ –
директрисой.
Выберем декартову прямоугольную систему координат так,
директриса параболы ℓ была перпендикулярна оси Ox, фокус
F лежал на положительной части Ox и расстояние от O до F
и до ℓ было одинаковым.
M
В такой системе координат:
F (0,5p;0) и ℓ: x + 0,5p =0 ,
где p – расстояние от F до ℓ .

O
F2
Уравнение (4):
y2 = 2px
называется каноническим уравнением параболы. Система
координат, в которой парабола имеет такое уравнение,
называется ее канонической системой координат.
СВОЙСТВА ПАРАБОЛЫ
1) Парабола лежит в полуплоскости x ≥ 0.
2) Парабола имеет ось симметрии (ось Ox).
Ось симметрии параболы называют осью параболы.
3) Из уравнения параболы получаем:
y   2 px
Исследуем кривую y  2 px методами, разработанными в
математическом анализе:
а) D ( y )  [0;   ) , y (0)  0 ;
б) асимптот нет (проверить самим);
2p
 0  функция всюду возрастает;
в) y  
2 x
г) y   
2p
4 x3
 0 .  график функции всюду выпуклый.
СВОЙСТВА ПАРАБОЛЫ
1) Парабола лежит в полуплоскости x ≥ 0.
2) Парабола имеет ось симметрии (ось Ox).
Ось симметрии параболы называют осью параболы.
3) Из уравнения параболы получаем:
y   2 px
Исследуем кривую y  2 px методами, разработанными в
математическом анализе:
а) D ( y )  [0;   ) , y (0)  0 ;
б) асимптот нет (проверить самим);
2p
 0  функция всюду возрастает;
в) y  
2 x
г) y   
2p
4 x3
 0 .  график функции всюду выпуклый.

y
p
F
x
Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется
вершиной параболы,
Число p называется параметром параболы.
Если M – произвольная точка параболы, то отрезок MF и его
длина называются фокальными радиусами точки M.
Замечание. Введем систему координат так, чтобы фокус F
параболы лежал на отрицательной части оси Ox, директриса
была перпендикулярна Ox, и расстояние от O до F и до
директрисы было одинаково.
y

p
F
x
Тогда получим для параболы уравнение
y2 = –2px,
а для директрисы и фокуса:
F(–0,5p;0) и ℓ : x – 0,5p = 0.
(5)
Выберем систему координат так, чтобы директриса была
перпендикулярна
Oy, фокус лежал на положительной
(отрицательной) части оси Oy и O была на одинаковом
расстоянии от F и от директрисы (рис. 2 и рис. 3):
y
y

x 2  2 py
p
F
x
p
F
x

рис. 2
x 2   2 py
рис. 3
Тогда уравнение параболы будет иметь вид x2 = 2py, (6)
а для директрисы и фокуса получим:
F(0;  0,5p) и ℓ : y  0,5p = 0.
Уравнения (5) и (6) тоже называются каноническими
уравнениями параболы, а соответствующие им системы
координат – каноническими системами координат.
4. Координаты точки в разных системах координат
Пусть заданы декартовы прямоугольные системы координат
xOy и xˆCyˆ такие, что Ox Cxˆ ,Oy  Cyˆ («параллельные
системы координат»).
ŷ
y
M
r2
r1
C
r0
O
Получаем:
x̂
x
 xˆ  x  x0 ,
 yˆ  y  y
0

(8)
Формулу (8) называют формулой преобразования координат
точки при переносе начала координат в точку C(x0;y0).
5. Общее уравнение кривой второго порядка
Рассмотрим уравнение
Ax2 + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0
(13)
С помощью элементарных преобразований, уравнение (13)
может быть приведено к виду:
1) при AC  0 :
( x  x0 ) 2
2) при C  0 :
( x  x0 )   ( y  y 0 )
3) при A  0 :
( y  y 0 ) 2   ( x  x0 ) .


( y  y0 ) 2

1;
2
(14)
ВЫВОД: Уравнение (13) определяет кривую, каноническая
система координат которой параллельна заданной, но имеет
начало в точке C(x0,y0).
Говорят: уравнение (13) определяет кривую со смещенным
центром (вершиной), а уравнение
(14)
называют
каноническим уравнением кривой со смещенным центром
(вершиной).
Замечание. Приводить уравнение (13) к виду (14) необходимо,
если мы хотим построить кривую. Тип кривой можно
определить и без уравнения (14). А именно:
1) если AC = 0, то кривая является параболой;
2) если AC < 0, то кривая является гиперболой;
3) если AC > 0, A ≠ C– эллипсом;
4) если AC > 0, A = C – окружностью.
6. Общее определение эллипса, гиперболы и параболы
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Прямые
1, 2 : x  
a

называются
x2 y 2
x2 y 2
директрисами эллипса 2  2  1 и гиперболы 2  2  1
a
b
a
b
Пусть M – произвольная точка эллипса или гиперболы.
ri = | MFi | , di = d(M,ℓi)
ТЕОРЕМА. Для любой точки M эллипса (гиперболы) имеет
ri
место равенство

di
ЗАМЕЧАНИЕ. По определению параболы r = d.  параболу
можно считать кривой, у которой эксцентриситет  = 1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Геометрическое место точек, для которых
отношение расстояния до фиксированной точки (фокуса) к
расстоянию до фиксированной прямой (директрисы) есть
величина постоянная и равная  , называется
1) эллипсом, если <1 ;
2) гиперболой, если >1;
3) параболой, если  = 1.
7. Оптическое свойство эллипса, гиперболы и
параболы
y
y
M


F1
F2
x

M



F1
yM
F2
x
F
x
Получаем: α = β .С физической точки зрения это означает:
1) Если источник света находится в одном из фокусов
эллиптического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала,
собираются в другом фокусе.
2) Если источник света находится в одном из фокусов
гиперболического зеркала, то лучи его, отразившись от
зеркала, идут далее так, как если бы они исходили из другого
фокуса.
3) Если источник света находится в фокусе параболического
зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, идут далее
параллельно оси.
СПАСИБО ЗА
ВНИМАНИЕ