Решение уравнений с параметром

Актуальность
Вывод
Решение задачи из части С5 ЕГЭ
Квадратное уравнение
Цель и задачи
Что такое параметр?
Линейное уравнение
Затронутая мною тема является актуальной, потому
что на вступительных испытаниях в вузы довольно
часто предлагаются задачи с параметрами, которые
содержатся также в заданиях ЕГЭ по математике.
Нередко мы, в том числе и я, учащиеся и
абитуриенты не можем справиться с простейшими
задачами, содержащими параметры, что
свидетельствует об отсутствии у нас навыков
решения задач с параметрами. Чтобы сдать ЕГЭ на
100 баллов, надо решить С5, а для этого мы должны
научиться мыслить, рассуждать…..т.е. решить все
задачи ЕГЭ на отлично.
-дальнейшее формирование
умений систематизировать, обобщать, видеть закономерности; формирование умения решать задачи разными способами, привлекая разнообразный теоретический материал из всего курса.
-развитие творческой деятельности;
-воспитание уверенности в себе
Наше ученическое понятие, параметраэто некоторое зафиксированное число.
Параметр (от др.-греч. παραμετρέω —
соразмеряю) — величина, значения которой
служат для различения
групп элементов некоторого
множества между собой.

Решить уравнение с параметром а – это
значит для каждого значения а найти
значение х, удовлетворяющее этому
уравнению.
Уравнения вида ax=b,где a и b-выражения, зависящие
от параметров, а x-неизвестное, называется
линейным уравнением с параметром.
1)Записать линейное уравнение в стандартном
виде, т.е. ax=b
2) если a=0, то 0·x=b, где b≠0, то x€Ø,
а если b=0, то x-любое число.
3) если a≠0, то уравнение имеет единственное
решение x=b/a.
Для всех значений параметра k решить
уравнение (k+4)x=2k+1.
Решение: Уравнение уже записано в
стандартном виде, поэтому
1) если k+4=0 т.е. k=-4 то уравнение примет
вид 0·x=-7 тогда x€Ø .
2) если k+4≠0 т.е k≠-4 тогда x=2k+1/k+4
Ответ: если k=-4, то x€Ø;
если k≠-4, то x=2k+1/k+4.
Уравнение вида ax²+bx+c=0 где a,b,cвыражения, зависящие от параметров,
где a≠0, а x-неизвестное, называется
квадратным уравнением с параметрами.
1) если a=0, то b·x+c=0
2) a≠0 и дискриминант D=b²-4ac<0 то x€Ø.
3) a≠0 и D=0, то уравнение имеет два совпадающихся
корня x=-b/2a, т.е. x1=x2=-b/2a
4) a≠0 и D>0 то уравнение имеет два различных корня
x=-b±√D/2a.
Найти все значения параметра a для которых
квадратное уравнение
(a-1)x²+2(2a+1)+4a+3=0
А)Имеет два различных корня
Б)не имеет корней
В)имеет равные корни (x1=x2)
Решение:
Данное уравнение по условию является квадратным,
поэтому a-1≠0, т.е. a≠1. Рассмотрим дискриминант
D=4(5a+4)
Согласно плану решения имеем:
1. D>0,
4(5a+4)>0, 
a>-4/5,
a≠1; 
a≠1;
a≠1.
2. D<0,
a≠1; 
a<-4/5,  a<-4/5.
a≠1;
3. D=0,
a≠1; 
a=-4/5,  a=-4/5.
a≠1;
Ответ: если a>-4/5 и a≠1 ,то уравнение имеет
два различных корня; если a<-4/5,то оно не
имеет корней; если a=-4/5 , то оно имеет два
совпадающихся корня.

Найдите все значения a , при каждом из
которых наименьшее значение функции
f(x)=2ax+|x²-8x+7| больше 1.





1. Функция f имеет вид:
a) при x²-8x+7≥0  f(x)=x²+(2a+8)x+7 а её
график есть две части параболы с ветвями,
направленными вверх, и осью симметрии
x=4-a ;
б) при x²-8x+7<0  f(x)=-x²+(2a+8)x-7, а её
график есть часть параболы с ветвями,
направленными вниз.
Все возможные виды графика функции
показаны на рисунках:
2. Наименьшее значение функция f (x)
может принять только в точках x=1 или
x=7, а если 4-a €[1;7] , то x=4-a

3. Наименьшее значение функции f больше 1 тогда и только тогда,
когда
F(1)>1
2a>1
a>1/2
F(7)>1  14a>1

a>1/14
F(4-a)>1
2a(4-a)+|a²-9|>1 2a²-8a+1-|a²-9|<0
a≥3
2a²-8a+10<0
½<a< 3
2a²-8a-8<0
3 ≤ a < 4+√6
½<a< 3
Ответ: (1/2;4+√6)
a≥3
4-√6 < a < 4+√6

½<a< 3
(4-√40)/3 < a < (4+√40)/3


½ < a < 4+√6
Для каждого значения параметра m найдите число
корней уравнения
|(x-2)²-4|=m
Решение:
m>4

m=4
4
0<m<4
m=0
0
2
m<0
Ответ: при m>0,2 корня;при m=4,3 корня; при
4 0<m<4,
2 корня; при m<0, нет корней.

Найдите графически в зависимости от значений
параметра с число корней уравнения ||2x-1|-|x-1||=c.
При каких значениях с уравнение имеет четыре
корня?.
2 корня
c>3
2 корня
3
3 корня
1.5
c=3
c=1.5
0<c<1.5
4 корня
c=0
2 корня
0

Согласно спецификации ЕГЭ задание С5
является уравнением, неравенством или
системой с параметром. Однако
начинать подготовку к ЕГЭ с решения
задач подобного уровня целесообразно
из-за высокой степени их сложности.
Литература:





«Уравнения и неравенства с параметрами»
В.В.Мочалов, В.В.Сильвестров.(2006г).
«Математика»журнал издательского дома
Первое сентября.
Интернет-ресурсы.
«Математика. Подготовка к ЕГЭ»
Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.
Демонстрационный вариант ЕГЭ
2012.МАТЕМАТИКА,11 класс