+ - + Туннельные задачи

Трех-компонентная техника
ˆ (t ,0) Bˆ ]
 Aˆ H (t ) Bˆ H (0)  Sp [  S  (t ,0) AS
Sp [e

( H0 V )/T i ( H0 V )t
e
i ( H0 V )t ˆ
 H V /T
Aˆ e
B] / Sp [e 0
]

Sp [TC  exp i  Vˆ (tc )dtc  Aˆ (tc ) Bˆ (tc ') ] / Z
 C

Распределение Гиббса – это всегда взаимодействие
с термостатом!
Проще ввести это взаимодействие явным образом
Релаксация заряда
G11 (t , t )  in1 (t )
2 t
n1(t )  n0 (1  U )[1  e
2 t
]n0 (1 )e
1
d

2

t
1  e2 t  2cos[(   )t ]e t 
n1 (t )  n1 (0)e
  nk ( )
1


(  1 )2   12 
1 1.3
1 0.3
G1 0.3
1 1.3
Общий взгляд на туннельные задачи
Особенность туннельных задач
0  L 0   d 0   R 0
Разные химпотенциалы
Возмущение – появление переходов между частями
Vˆ H tun  TK  (ck d  d  ck )
k
Матрица плотности не факторизуется
Вычисление тока

nL  i[nL , H T ]  IˆK
t
I k  iTk  (  ck d    d  ck )
k
IˆK  iTk  (ck d  d  ck )
k
I p  iTp  (  c p d    d  c p )
p
d 





 ck d  ck (t )d (t ) Gdk (t , t )  
G ( )
2 dk
d 
I   Tkd 
(Gkd ( )  Gdk ( ))
2
k
Vˆ H tun  TK  (ck d  d  ck )
Vˆ U a p q a p
k
p
 TK   dt1 (ck (t1 )d (t1 )  d  (t1 )ck (t1 ))ck (t  )d (t  )
-
k
+
-
+
 (t , t )  T
R (t , t )G (t , t ) G (t , t )G A (t , t ) 

Gdk
dt
G
1
1
kd  1  d
k 1
d
k 1 
d
I (V )  2  T T ImG ( )[2 ImG ( )n ( )  iG ( )]
2
k
*
kd kd
I (V )  
R0
k
A
d

d
0
k
d
 kd  pd G ( )G ( ) n ( )  n ( ) 
2
A
d
R
d
0
k
0
p
Туннельные задачи «с атомным разрешением»

I  T13 (G01
 G10 )  T32 (GN , N 1  GN 1, N )
d R
I T T 
G1N ( )GNA1 ( ) 0 ( ) N ( )[n0 ( )  nN 1 ( )]
2
2 2
13 32
R
 0 ( )  (1/  )ImG00
( )  N 1( )  (1/  )ImGNR 1, N 1( )
? n0 ( )
nN 1 ( ) ?
Согласованность разных подходов
1)
j  i
1


k
[*   ( * ) ]    ck eikr  j   ck ck
2m
r
r
k
k m
2)
Ii,i 1  iTi,i 1(cici 1  ci1ci )
j  I·a  iaT (eika  eika )ckck
k
 (k )  2Tcos(ka)  T (e  e
ika
 ika
)
1
2
 2  (k )
*
m
k

 (k )  iaT(eika  e ika )
k

k 

j    (k )ck ck  j   * ck ck
k k
k m
 1

2

2a
T


*
m


Флуктуации туннельного тока

t t

t 0
Тепловой и дробовой шум считаются единым образом
Возбуждение колебаний туннельным током
Vˆ  g (a1 a2  a2 a1)(b  b )
D (t , t )  i  b (t )b(t ) 
N  iD (t , t )
G0R1G R
 ( z, z,  )  i ( z ) ( z  z)
R
 ( z, z,  )  2i ( z )n(, z ) ( z  z)
G  ( z, z , p,  )   dz1dz2G R ( z, z1 , p,  ) ( z1 , z2 , p,  )G A ( z2 , z , p,  )
G  ( z , z , p,  )   dz1G R ( z , z1 , p,  ) 2i ( z1 )n( z1 ,  )G A ( z1 , z , p,  )
1 
  
J 
    G ( z , z ) |z  z
2m  z z 
Термоэмиссия
G R ( z, z , p,  ) 
2m
ei0 z 'i1z
i (1   0 )
z  0,z '  0
 0  2m(  i )  p 2  z  0
1  2m(  V1  i )  p 2  z  0
G ( z, z, p,  ) 

 R ( z, z,  )  i ( z  z)
 ( z, z,  )  2i n( ) ( z  z)
G A ( z, z, p,  )  [G R ( z ', z, p, )]*
0

dz1G R ( z, z1 , p,  )2i n0 ( )G A ( z1 , z , p,  )
d dp (1  1* )( 0   0* )
J 

n0 ( )
3
2
(2 )
|  0  1 |
Учитываются только распространяющиеся состояния
J
W 2
e T T
T
W
Теплопроводность
В туннельных задачах
вычисляется поток частиц
с данной энергией
j ( )
Так же можно вычислить поток энергии
 j ( )
Полный поток тепла
Q
d
j ( )
2
Функции отклика
 n(r , t )   dt1dr1 (r  r1 , t  t1 )U (r1 , t1 )
G
(1) (rt , rt )  dt dr [G R (rt , rt )G (rt , rt ) G (rt , rt )G A (rt , rt )]U (r , t )
11
11
11
11
1 1
 1 1
 n(r, t )  iG(1) (rt , rt )
 (rt , rt ) G (rt , rt )G A (rt , rt )]
 (r  r1 , t  t1 )  i  dt1dr1[G R (rt , rt
)

G
11
11
11
11
 (r  r1 , t  t1 )  [n(rt ) n(rt
1 1 )]   (t  t1 )
 R   
Отклик Гейзенберговского магнетика
H   J ij Sˆi Sˆ j  HSˆi
i, j
i
H0  H(cici  cici )
V J (S  S   ....)  J (cicici1ci 1  .....)
 (t )  S (t )S (0)  ci (t )ci (t )ci1 (0)ci 1 (0)  ....
t
0
Побочное применение
Неупорядоченные системы
 A 
 H V
Sp [e T
Aˆ ]
 H V
Sp [e T
]
 u (r )u (r ')  g (r  r ')
Применение
Аналог
1) Релаксация, кинетические уравнения
Уравнения гейзенберга,
прямое построение цепочек
кинетических уравнений
2) Функции отклика,
корреляторы,
флуктуации
3) Неравновесные состояния
с потоками между двумя резервуарами
Температурная техника с
использовнием аналитического
продолжения
Аналогов нет
Обычная диаграммная техника – усреднение по вакууму
(основному состоянию)
Описывает свойства основного состояния в многочастичной системе
Температурная диаграммная техника – усреднение по термодинамически
Равновесному состоянию с гиббсовской матрицей плотности
Неравновесная техника – описывает любые изменения матрицы плотности
Konstantinov, O. V., and Perel, V. I., 1960, Zh. Eksp. Teor. Fiz., 39,
197; [Sov. Phys. JETP,1961,12, 142].
Schwinger, J., 1961, J. Math. Phys.,2, 407.
Keldysh, L. V., 1964, Zh. Eksp. Teor. Fiz.,47, 1515; [Sov. Phys. JETP,
1965, 20, 1018].
Обзоры
Rammer, J., and Smith, H., 1986, Rev. Mod. Phys.,58, 323.
A. Kamenev and A. Levchenko
Keldysh technique and nonlinear σ–model:
basic principles and applications
2009
Возбуждение колебаний
D (t , t )  i  b (t )b(t ) 
D 
N  iD (t , t )


R
A
(
D

D
)


2
ImD R
A
R
R
 
2Im
i  ()  2Im R () N 0 ()  P  ()
i 
D  2iN ()ImD ()  N() 
2Im R

R
N () 
N ()  N0 ()  N ()
P  ()
R
2 Im dd
( )