Отражение от одномерной потенциальной ямы

МФТИ
В.Н.Глазков, 2014
Отражение от одномерной симметричной потенциальной
яме.
Задача: Найти коэффициент прохождения и коэффициент отражения для одномерной
0,∣x∣>a
потенциальной ямы U (x )= −U ∣x∣<a (U >0) (рис. 1)
0,
0
{
U(x)
-a
a
X
-U0
Рисунок 1: График U(x).
Необходимые утверждения из теории:
1. Волновая
функция
подчиняется
̂
H ψ=E ψ
2
2
ℏ d
−
+U (x) ψ=E ψ
2m d x 2
(
стационарному
уравнению
Шредингера
)
2. При U =const решениями уравнения Шредингера являются:
2
◦ для
E>U
ψ=e±i k x ,
◦ для
E<U
ψ=e±κ x , U − E=
E −U =
2
ℏ k
2m
ℏ 2 κ2
2m
3. При «сшивании» решений для волновой функции, полученных в разных областях
пространства необходима напрерывность и гладкость волновой функции (гладкость
нарушается только на бесконечных скачках потенциала)
4. Временная зависимость волновой функции в состоянии с определённым значением
энергии описывается экспонентой e−i E t / ℏ (нестационарное уравнение Шредингера
∂ψ ̂
= H ψ ), поэтому k >0 соответствует
по определению фиксирует знак i ℏ
∂t
движению волны направо.
5. При неограниченном движении (решение в форме плоской волны) волновая функция
C e i k x не нормирована на единичную полную вероятность. Удобно выразить поток
частиц: вероятность прохождения частицы через площадку dS в интервал dt
2
dp ∣ψ∣ dV
2ℏk
j=
=
=∣C∣
dS dt dS dt
m
МФТИ
В.Н.Глазков, 2014
Решение:
В этой задаче E>0 , частицы делокализованы и обладают непрерывным спектром.
Считаем для определённости, что источник частиц находится слева от потенциальной ямы.
Решения уравнения Шредингера имеют форму бегущей волны. Слева от ямы (со стороны
источника частиц) может присутствовать отражённая от ямы волна. Справа от ямы может
быть только волна распространяющаяся от ямы. Можно выбрать нормировку, в которой
падающая волна имеет единичную амплитуду.
Решение уравнения Шредингера в разных областях пространства:
при
ψ=e i k x + Ae −i k x
x<−a
при −a<x<a
при
ψ=B1 e
x>a
ψ=C e i k x
√
k '=
где k =
2m
E;
ℏ2
√
ik ' x
−ik ' x
+B 2 e
2m
( E+U 0 )
ℏ2
Записываем условия сшивки волновых функций на двух границах:
{
e−ika +A e ika=B 1 e −i k ' a+B 2 ei k ' a
B 1 e ik ' a+ B2 e−i k ' a =C eika
k (e−ika −A e ika)=k ' ( B1 e−ik ' a −B 2 e ik ' a )
k C e ika =k ' ( B1 ei k ' a −B2 e−i k ' a )
Исключаем C
{
e
−ika
ika
−i k ' a
ik ' a
+A e =B1 e
+B 2 e
k'
B1 e ik ' a+B 2 e−i k ' a= (B1 e i k ' a −B2 e−i k ' a )
k
k −ika
ika
(e −A e )=B1 e−ik ' a −B2 e ik ' a
k'
Из второго уравнения
B1 −2 i k ' a k+k '
=e
B2
k '−k
Складывая и вычитая первое и третье уравнения получаем
( kk' )+A e (1− kk' )= B e
B
k
k
1−
+A
e
1+
( k' ) ( k' )
ika
e−ika 1+
1
−ika
e
(
k ' −k
k ' +k
ika
2
)
2
−2i k ' a
−4 i k ' a
=e
k +k '
k '−k
k '+k −2i ka
e
k '−k
−4 i k ' a
=e
k '−k −2i ka
A+
e
k '+k
A+
Отсюда уже видно важное свойство: A=0 (отражённой волны нет) если e−4 i k ' a=1
при k (2a)=π n . Отражения нет, если на длине ямы укладывается пол дины волны.
Общее решение для амплитуды отражённой волны имеет вид (обозначим
α=
т. е.
k ' −k
k ' +k
МФТИ
В.Н.Глазков, 2014
0≤α<1 , этот параметр тем больше чем глубже яма)
A=α e−2 i ka
−4 i k ' a
−1 )( α2 −e 4 i k ' a )
( e−4 i k ' a −1 )( α 2−e 4i k ' a )
e−4 i k ' a −1
−2 i ka ( e
−2 i ka
=α
e
=α
e
α2 −e−4 i k ' a
α 4+1−2 α2 cos(4 k ' a)
( α2 −1)2+4 α 2 sin 2 (2 k ' a)
Коэффициент отражения равен отношению потоков отражённых и падающих частиц и при
выбранной нормировке падающего потока он оказывается равен
2
R=∣A∣ = A A∗=2 α 2
1−cos (4 k ' a)
(α −1)2+4 α 2 sin 2 (2 k ' a)
2
Зависимости коэффициента отражения от 2 k ' a (ширина ямы
значений параметра α построены на рисунке 2 ниже
2 a ) для некоторых
α =0.7
α =0.3
α =0.1
1.0
0.8
R
0.6
0.4
0.2
0
0
π
2π
3π
4π
2 k' a
Рисунок 2: Зависимости коэффициента отражения от симметричной ямы.
Интересно отметить, что максимальное значение коэффициента отражения
2
( )
Rmax =
2α
1−α 2
растёт с глубиной ямы.
Коэффициент прохождения (отношение потока падающих частиц к потоку частиц за ямой)
T =1−R