2_03

2.3. Дробный квантовый эффект
Холла
Система уровней в первой зоне Ландау.
Понятие Лафлиновской жидкости как
нового состояния двумерного электронного
газа. Возбуждения с дробным зарядом
Открытие эффекта
.
 Поперечная проводимость ρXY и магнетосопротивление ρXX в
дробном квантовом эффекте Холла
2
Система уровней
в первой зоне Ландау
.
 Вследствие
сильного кулоновского отталкивания электроны
образуют несжимаемую квантовую жидкость  жидкость Лафлина
 Рассмотрим электрон в сильном поперечном магнитном поле в
двумерном случае
 Векторный потенциал:
A   A Z  0; A

 H / 2( y , x)  H / 2
 Гамильтониан:
 2

Ĥ  [1 / 2m*][(  / i) /  r  (e / c)A]
 Общее решение:
(, , z)  R () exp[ik Z z  im]
3
 В цилиндрических координатах:
 2

Ĥ  [1 / 2m*][p  (e / c) A]  


p̂ 2
e2
e
2


A 
[Ap̂  p̂A];
2
2m *
2
m
*
c
2m * c
Система уровней
в первой зоне Ландау
.
 Оператор импульса:
   1  
 
p  ( i 
i 
iZ );
i 
 
z
 Далее,
2 2
1 

1 2
e2H2 2
eH 
Ĥ  
[ 2
( )  2 2 ] 



.
2m * z
  
2m * ci 
 
8m * c 2
 Для радиальной части имеем следующее уравнение:
2
m2
[  ]R  1 / [ ]R  2 R    2R  2m R   R;

2
2
  eH / 2c  1 / 2lH2 ;   2m * E /  2  k 2Z .
 Проводим перенормировку радиальной переменной на магнитную
длину:
 m2
[  ]R  [ ]R  R[  
]0,
4 4
2



   / 4   m / 2.
2
4
2
Система уровней
в первой зоне Ландау
.
 Асимптоты решения:
exp[ / 2];   ;
R () ~  |m|/ 2
 
;   0.
 Ищем решение в виде
R ()  W() exp[ / 2]|m|/ 2
 W   [| m | 1  ]W   [  (| m | 1) / 2]W  0
дифференциальное уравнение  уравнение для
вырожденной гипергеометрической функции, его решение
 Полученное
W()  F1 ([ 
| m | 1
], | m | 1, ).
2
 Спектр:
E nm (k Z )  C (n | m | / 2  m / 2  1 / 2)   2k 2Z / 2m *
5
Система уровней
в первой зоне Ландау
.
 Полная волновая функция имеет вид:
(, , z)  R() exp[ik Zz  im]  exp[ik Zz  im   / 2]|m|/ 2
 В плоской геометрии
 m (z) 
zm
m
2 2 m!

exp  | z |2 / 4

 Условия ограниченности решения на бесконечности приводят к
выражению, определяющему спектр электрона:
E nm (k Z )  C (n | m | / 2  m / 2  1 / 2)   2k 2Z / 2m *
 Таким образом, кроме обычного квантования по зонам Ландау
имеет место квантование по угловому моменту m
 В каждой зоне Ландау с определенным n имеется бесконечный
набор вырожденных энергетических уровней m с энергией,
совпадающей с обычной энергией уровня Ландау:
6
E nm (k Z )  C (n  1 / 2)   2k 2Z / 2m*
Снятие вырождения
.
 Рассмотрим
двумерный электронный газ в (x,y) плоскости,
находящийся в поперечном магнитном поле. Гамильтониан
системы:
 1 
e
Ĥ   
j  Aj
c
j 
2m * i
2
 
e2
 V(rj )     ,
 jk | rj  rk |
 Вариационная волновая функция:

 1 N

m
 m (z1 ,...z N )   (z j  z k )  exp  | z i |2 
 4 i1

 jk

 Сконструируем аналог классического действия:
|  m |2  exp[ ].
1
   2m 2 ln | z j  z k |  m | z j |2 .
2 j
j k
 Получили энергию классической однокомпонентной плазмы в
7
двумерном пространстве, где кулоновское
описывается логарифмическим потенциалом
2
v (z j  z k )  2e
ln | z j  z k |
взаимодействие
Лафлиновская жидкость
.
 Жидкость
Лафлина оказалась новым квантовым состоянием
двумерной
взаимодействующей
системы.
Специфическая
особенность состояния Лафлина  элементарные возбуждения в
ней могут иметь дробный заряд
 Построение возбужденного состояния: в какой-либо точке z0
плоскости вносится перпендикулярно ей бесконечный тонкий
соленоид, и через него адиабатически медленно пропускается
единичный квант магнитного потока
 Добавка в векторный потенциал:
(z  z 0 ) m exp[1 / 4 | z |2 ]

(z  z 0 ) m1 exp[1 / 4 | z |2 ]
 Вариационная волновая функция:
m
 z0

 1 N

m
 A Z 0  m   (z i  z 0 ) (z j  z k )  exp | z i |2 
 4 i1

j k
 i

 Эта волновая функция соответствует элементарному возбуждению,
8
которое называют “квазиэлектрон”
Лафлиновская жидкость
.
 Полученные элементарные возбуждения являются частицами с
зарядом e*=e/m
 Сконструируем классическое дейстсвие:
| m
 Тогда
 z0
|2  exp[ ];   1 / m
     2m ln | z  z 0 |
i
 Получившееся
выражение
описывает
взаимодействие
однокомпонентной плазмы заряженных частиц (с зарядом e*=m) с
точечным зарядом, находящимся в точке z0. Плазма будет
экранировать этот заряд, создавая равный по величине и
противоположный по знаку заряд вокруг z0
 Рассматриваемое возбуждение относительно реальных электронов
будет иметь дробный заряд e*=e/m
9
Лафлиновская жидкость
.
 Квазичастицы, “квазидырка” и “квазиэлектрон”, локализованы в
области пространства размером порядка магнитной длины
 Пользуясь аналогией с плазмой, и исходя из энергии
экранирования плазмой единичного заряда, можно оценить
энергетическую щель в спектре:
  E(mz0 )  E(mz0 )  2E(m )

Δ ~ e2/ε m2lH ~ 4-5 K при поле ~ 10 Тл; m=3,5; ε ~ 10
 Основное
10
состояние
жидкости
Лафлина
отделено
от
возбужденного состояния конечной энергетической щелью
 Конечная щель говорит о том, что эта жидкость несжимаема
 Если в целочисленном эффекте возрастание концентрации
примесей в известных пределах уширяет плато на полевой
зависимости холловского сопротивления, то в дробном эффекте
увеличение концентрации примеси может уменьшить ширину
плато