График функции у=

КВАДРАТИЧНАЯ
ФУНКЦИЯ
И ЕЁ ГРАФИК
МОУ
общеобразовательная
школа № 15
г.Коломна 2008 год
Авторы: Усаков А.
Сементовский Г.
Немного истории
В первой половине 17 века начинает складываться представление о
функции.Функция -одно из основных математических понятий и
общенаучных, выражающие зависимость между переменными
величинами.
Каждая область знаний:
физика,химия,биология,социология,лингвистика и т.д имеет свои
объекты изучения,устанавливает свойства и, что особенно важно,
взаимосвязи этих объектов.
В различных науках и областях человеческой деятельности
возникают количественные соотношения и математика изучает их в
виде свойств чисел.
Например, в соотношении y=x2 геометр или геодезист увидит
зависимость площади y квадрата от величины x его стороны,а
физик,авиаконструктор или кораблестроитель может усмотреть в нем
зависимость силы y сопротивления воздуха или воды от скорости x
движения.
Математика же изучает зависимость y=x2 и её свойства в
отвлеченном виде.
Понятие «функция» претерпело длительную и довольно сложную
эволюцию.
Значительную роль в этом направлении сыграл французский
математик Пьер Ферма (1601-1665гг.),Рене Декарт (1596-1650гг.),
английский ученый Исаак Ньютон (1643-1727гг.).
Термин «функция» (от латинского Functio – «исполнение»,
совершение,выполнение, «осуществление»).Впервые ввел термин
немецкий математик Готфрид Лейбниц (1646 – 1716 г.)
У него функция связывалась с геометрическим образом – графиком
функции.
А график – множество всех точек ( x; y) координатной плоскости, где y
=f(x), а , Х «пробегает» всю область определения функции f,а затем
швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667-1748г.) и член
Петербургской Академии наук знаменитый математик Леонард Эйлер
(1707-1783г.) рассматривают функцию как аналитическое выражение.
Первоначально идея координат зародилась в древности,в связи с
потребностями астрологии ,географии и живописи. На стене одной из
древнеегипетских погребальных камер была обнаружена квадратная
сетка (ПАЛЕТКА) . Древнегреческий астроном Клавдей Птоломей (IIв)
принимал географические координаты для определения
местонахождения мореплавателя. Идеей координат пользовались в
средние века для определения светил на небе, для определения
места на поверхности Земли. Прямоугольной сеткой пользовались
художники эпохи Возрождения. А впервые применять координаты в
математике стали П.Ферма и Р.Декарт . В 1637г. вышла книга
Р.Декарта «Рассуждение о методе», где в одном из разделов мы
узнаем о новом методе-методе координат.
У=Ах2+Вх+С
У=Ах2+Вх+С
У=Ах2+т
У=Ах2-т
У=А(х-п)2
У=х2
У=А(х+п)2
У=-х2
У= Ах2
У=-Ах2
График функции y=x2



y=x2


18
16
14
12

у
10
8
6
4
2

0
х
-4
-3
-2
-1
х
0
1
2
3
4
1. О.О.Ф. D(y)=(-~; +~) .
2. О. Зн. Ф. E(y)=[0;+~).
3. 0 (0,0) – вершины параболы.
4. Ветви направлены вверх.
5. Функция чётная,т.к. о.о.
симметрична относительно 0.т.к.,
-(х2 )=х2.
6. График представляет собой
параболу симметричную
относительно оси ОУ.
7. На промежутке(-~,0) функция
убывает, а на промежутке(0, ~)
функция возрастает.
График функции у=-х2

20
15
10
у=х
2

у
5
х
0
-4
-3
-2
-1
-5
-10
у=х
0
1
у=-х
2
2
3
4

-15
-20
х

Графиком данной
функции является
парабола.
Ветви её направлены
вниз.
График у=х2 и
у=-(х2 )симметричны
относительно оси
абсцисс ОХ.
У=-2х2 и У=1/3 х2
20

10
у=х2
у=1/3
х2
у
х
-4
0
-3
-2
-1
0
-10
-20
-
-30
-40
х
1
2
3
4

Графиком функции у=2х2 является парабола,
ветви которой
направлены вниз, а сам
график сжат по оси ОХ .
Графиком функции
у=1/3х2 является
парабола, которая
растянута по оси ОХ.
У= х2+т

22
20
18
16
14
12
10
у
2
8у=х+3

6
4
2у=х2
0
х
-4
-3
-2
-1
-2
-4
-6
х
0
1
у=х2-4
2
3
4
График функции У=х2+т
будет поднят на т
единиц вверх по оси ОУ
по отношению к графику
у= х2.
График функции у=х2-т
будет опущен на т
единиц по оси ОУ по
отношению к графику
функции у=х2.
У=А(х-т)2

40
35
30
25

у
20
15
10
5
0
х
-4
-3
-2
-1
х
0
1
2
3
4
График данной функции
парабола,вершины
которой смещены по
оси ОХ на т единиц.
На рисунке изображён
график функции у=
(х+2)2 и график функции
у=(х-2)2 .
У=А(х-т)2+n

50
40
30
у
20

10
0
х
-4
-3
-2
-1
-10
х
0
1
2
3
4
Графики данной
функции имеют
координаты
вершины в
точке(m,n).
Парабола имеет
смещение по оси
ОХ и ОУ.