f`(x)

Применение
производной к
исследованию функций
Возрастание и убывание
функции на интервале

Достаточный признак возрастания функции.

Достаточный признак убывания функции.
Если f'(x) > 0 в каждой точке
интервала I, то функция возрастает
на I.
Если f'(x) < 0 в каждой точке
интервала I, то функция убывает на
I.
Пример. На рисунке изображен график производной
функции, определенной на интервале (-5; 10).
Найдите промежутки возрастания функции.
В ответе укажите длину наибольшего из них.
Ответ: 3
Пример. На рисунке изображен график производной
функции, определенной на интервале (-1; 17).
Найдите промежутки убывания функции.
В ответе укажите длину наибольшего из них.
Ответ: 7
Пример. На рисунке изображён график производной
функции f(x) и восемь точек на оси абсцисс:
х1, х2 , х3 , х4 , х5 , х6 , х7 , х8.
В скольких из этих точек функция возрастает?
Ответ: 5
Пример 1. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 3). Найдите промежутки возрастания функции
f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них
Ответ: 6
Пример 2. На рисунке изображён график производной функции и восемь
точек на оси абсцисс:х1, х2 , х3 , х4 , х5 , х6 , х7 , х8. В скольких из этих
точек функция возрастает?
Ответ: 3
Пример 3. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная
функции положительна.
Ответ: 4
Пример 4. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале
(−5; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
Ответ: 7
Точки максимума и
минимума функции
Определение: Точки максимума и минимума
функции называются точками экстремума
Пример. На рисунке изображен график функции y = f(x),
определенной на интервале (-6; 7). Найдите сумму точек
экстремума функции f(x).
.
Ответ:
-5+(-4)+(-2)+
+0+1+4+6=0

Если точка х0 является точкой экстремума
функции f и в этой точке существует
производная f', то она равна нулю: f'(x0)=0.
Пример. На рисунке изображен график функции y=f(x), опре-
деленной на интервале (-1; 12). Найдите количество точек, в
которых производная функции f(x) равна 0.
Ответ: 7
Пример 1. На рисунке изображен
график функции y=f(x), определенной на интервале (−7; 5).
Найдите сумму точек экстремума
функции f(x).
Ответ :
0
Пример 2. На рисунке изображен
график функции f(x), определенной
на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Ответ: 4
Пример 3. На рисунке изображен
график функции y=f(x), определенной на интервале (-3; 8). Найдите количество точек, в которых
производная функции равна 0.
Ответ: 8.
Признак максимума функции. Если функция f
непрерывна в точке х0 , а f'(x) > 0 на
интервале (а, х0) и f'(x)< 0 на интервале
(х0,b), то точка х0 является точкой
максимума функции f.
Признак минимума функции. Если функция f
непрерывна в точке х0, а f'(x) < 0 на
интервале (а, х0) и f'(x)>0 на интервале
(х0,b), то точка х0 является точкой
минимума функции f.
f'(x) + х1
f(x)
max
-
х2
min
+
х3
max
-
Пример. На рисунке изображен график производной функции f(x),
определенной на интервале (-13; 10). Найдите количество точек
экстремума функции f(x) на отрезке [-11; 8].
Ответ: 5
Пример. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-18; 6). Найдите количество точек минимума функции
f(x) на отрезке [-15; 5].
+
-
+
-
+
Ответ: 2
Пример 4. На рисунке изображен график производной функции f(x),
определенной на интервале (−11; 11). Найдите количество точек экстремума
функции f(x) на отрезке [−10; 10].
Ответ: 5
Пример 5. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].
Ответ: 1
Пример. На
рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале (-5; 7). В какой
точке отрезка [-3; 1] функция f(x), принимает наибольшее значение?
Ответ: -3
Пример 6. На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале (-8; 3). В какой точке отрезка [-2;
2] функция f(x) принимает наибольшее значение.
Ответ: -2
Пример 7. На рисунке изображен график производной функции y=f(x),
определенной на интервале (-8; 4). В какой точке отрезка [-7; -3] f(x) принимает наименьшее значение?
Ответ: -7
Пример. На рисунке изображён график функции y = F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-2; 4).
Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на
отрезке [−1; 3].
F'(x) = f(x)
Ответ: 7
Пример 8. На рисунке изображён график функции y = F(x) — одной из
первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале
(−3;5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения
f(x)=0 на отрезке [−2;4].
Ответ: 10
Физический смысл
производной



Производная – это скорость протекания
любого процесса
Производная от координаты по
времени есть скорость
x'(t) = v(t)
Производная от скорости по времени
есть ускорение
v'(t)= a(t)
Пример. Материальная точка движется прямолинейно по закону
x(t) = -t4 + 6t3 + 5t +23 (где x — расстояние от точки отсчета в
метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения).
Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t=3с.
Решение: v(t) = x'(t), v(t) = -4t3 + 18t2 + 5,
v(t) = -4•27 + 18•9 + 5 = 59
Ответ: 59
Решение: v(t) = x'(t), v(t) = 1,5t2 – 6t + 2,
v(t) = 1,5•36 - 36 + 2 = 20
Ответ: 20
Решение: v(t) = x'(t), v(t) = t2 - 6t - 5,
v(t) = 2 м/с,
t = -1, t = 7
Ответ: 7
t2 - 6t – 5 = 2,
t2 - 6t – 7 = 0
Спасибо
за работу!