f&#39

Рабочие материалы для обучающихся.
I. Возрастание и убывание функции на интервале.
Достаточный признак возрастания функции. Если f'(x) > 0 в каждой точке
интервала I, то функция возрастает на I.
Достаточный признак убывания функции. Если f'(x) < 0 в каждой точке
интервала I, то функция убывает на I.
Пример1.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 3).
Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Пример 2.
На рисунке изображён график
производной функции
и восемь точек на оси абсцисс:
, . В скольких из этих точек функция
возрастает?
Пример 3.
На рисунке изображен график функции
, определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Пример 4.На рисунке изображен график функции
5). Определите количество целых
точек, в которых производная
функции
, определенной на интервале
(−5;
отрицательна.
II. Точки максимума и минимума функции.
Определение: Точки максимума и минимума функции называются точками
экстремума.
Пример 1.
На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−7; 5). Найдите
сумму точек экстремума функции f(x).
!
Если точка х0 является точкой экстремума функции f и в этой точке
существует производная f', то она равна нулю: f'(x0)=0.
Пример 2.
На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Пример 3.
На рисунке изображен график функции
, определенной на интервале
Найдите количество точек, в которых производная функции
равна 0.
.
Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке х0, а f'(x) > 0
на интервале (а, х0) и f'(x)< 0 на интервале (х0,b), то точка х0 является
точкой максимума функции f.
Признак минимума функции. Если функция f непрерывна в точке х0, а f'(x) < 0
на интервале (а, х0) и f'(x)>0 на интервале (х0,b), то точка х0 является точкой
минимума функции f.
Пример 4. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале
(−11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−10; 10].
Пример 5. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале
(−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].
Пример 6.
На рисунке изображен график производной функции
, определенной на интервале
В какой точке отрезка [-2; 2] функция
принимает наибольшее значение?
.
Пример 7. На рисунке изображен график производной функции
, определенной на интервале
. В какой точке отрезка
принимает наименьшее значение?
Пример 8. На рисунке изображён график функции y = F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (−3;5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [−2;4].
II. Физический смысл производной.
Производная – это скорость протекания любого процесса.
Производная от координаты по времени есть скорость.x'(t) = v(t).
Производная от скорости по времени есть ускорение. v'(t)= a(t)
Пример 1. Материальная точка движется прямолинейно по закону
(где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t = 6 с.
Пример 2. Материальная точка движется прямолинейно по закону
(где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?