Пирамида 11 класс

Пирамида
11 класс
Определение
Пирамида – это многогранник,
который состоит из:
-Плоского многоугольника;
-Точки, не лежащей в плоскости
этого многоугольника;
-Всех отрезков, соединяющих
эту точку с точками этого
многоугольника.
S
An
A3
A1
Боковые рёбра – отрезки,
соединяющие вершину
пирамиды с вершинами
основания.
Высота пирамиды –
перпендикуляр, опущенный из
вершины пирамиды на
плоскость основания.
Обозначение
Чертёж
A2
S
A
O
C
SA₁A₂…An –
пирамида,
A₁A₂…An –
основание,
S – вершина
пирамиды
SA₁, SA₂, … SAn –
боковые рёбра,
ΔSA₁A₂, SA₂А₃ боковые грани
B SO – высота
пирамиды
Ответь на вопросы:
1. Сколько вершин, рёбер, граней у
- треугольной;
- четырёхугольной;
- пятиугольной;
- п-угольной пирамиды?
2. Какое наименьшее число вершин, рёбер, граней может
иметь пирамида?
3. Высота пирамиды 3 см. Чему равно расстояние от вершины
пирамиды до плоскости основания?
Ответь на вопросы:
4. Какие многоугольники могут быть сечениями
четырёхугольной пирамиды?
5. Боковые рёбра треугольной пирамиды равны 7м, 12м и 5м.
Одно из них перпендикулярно к плоскости основания. Чему
равна высота пирамиды?
6. Одно из боковых рёбер пирамиды 12см, её высота – 6см.
Найдите угол между этим ребром и плоскостью основания
пирамиды.
Задача 1.
S
?
C
B
45˚
O
10
K
A
12
Задача 2.
S
13
?
C
B
O
A
8
6
D
Домашнее задание
1. Вопрос № 27;
2. Задача № 49.
ЗАПОМНИ
Если боковые рёбра
пирамиды наклонены к
плоскости основания под
одним и тем же углом, то
вершина пирамиды
проектируется в центр
окружности, описанной около
основания пирамиды.
Если боковые грани
пирамиды наклонены к
плоскости основания под
одним и тем же углом, то
вершина пирамиды
проектируется в центр
окружности, вписанной в
основание пирамиды.
Задача 1.
S
?
8
C
B
60˚
O
6
K
A
S
Задача 2.
?
4
C
B
O
A
7
3
D
ABCD-параллелограмм, dосн = 6
Задача 2.
S
Sбок = ?
?
21
C
B
A
20
D
Домашнее задание
Задача. Основание пирамиды – равнобедренный
треугольник, у которого основание равно 6см и
высота 9см; боковые рёбра равны по 13см.
Найдите высоту пирамиды.
Практическая работа
Построение пирамиды и её
плоских сечений.
α ǁ AC
α ǁ SB
S
C
A
B
N € (ABC)
M € (SAC)
S
K
M
C
A
N
B
Домашнее задание
1. Вопросы 28 – 30.
2. Задачи 50 – 52.
Правильная
пирамида
Определение
Правильная пирамида – это
пирамида, основания которой –
правильный многоугольник, а
вершина пирамиды
проектируется в центр
основания.
Апофема – высота боковой
грани, проведённой из вершины
пирамиды.
Ось пирамиды - прямая,
содержащая её высоту.
Боковая поверхность
пирамиды – сумма площадей
боковых граней.
Обозначение
Чертёж
S
SABC –
правильная
пирамида
SK – апофема
B
O
C
K
A
Sб = рh, где
р – полупериметр
основания,
h – апофема.
Свойства.
1.
2.
3.
4.
5.
Боковые рёбра равны;
Боковые грани равны;
Апофемы равны;
Двугранные углы при основании равны;
Двугранные углы при боковых рёбрах равны.
Ответьте на вопросы:
1.Основание пирамиды четырёхугольник, все стороны которого
равны. Высота пирамиды проходит через точку пересечения
диагоналей основания. Является ли данная пирамида
правильной?
2. Как пересекает основание правильной пирамиды её
диагональное сечение?
3. Чему равно число диагональных сечений правильной
пирамиды?
4. Высота правильной пирамиды 5 см, а апофема – 10 см.
Чему равен двугранный угол при основании?
Решите задачи:
S
b
?
D
C
a
A
B
h
?
a
S
?
7
D
A
C
8
B
Д/з
S
?
10
45˚
B
C
K
O
A
S
6
?
B
C
K
O
3
A
Боковая и полная поверхности пирамиды
S
Sб -?
S -?
3
B
C
K
O
4
A
S
Sб -?
S -?
D
C
60˚
M
A
5
B
S
Sб -?
45˚
D
A
a√2
B
C
Д/з
Sб =14,76
S = 18
a, H -?
S
Н
D
A
C
a
B
S
Sб =144
АS =10
а, l -?
l
B
C
K
O
а
A
Sб =16
a -?
S
5
D
A
C
a
B
Самостоятельная работа
Вариант 1
1. Высота правильной
четырёхугольной пирамиды 7 см, а
сторона основания 8 см. Найдите
боковое ребро и площадь боковой
поверхности.
2.
В правильной четырёхугольной
пирамиде сторона основания 6 м,
а угол наклона боковой грани к
плоскости основания равен 60˚.
Найдите S.
Вариант 2
1. Найдите апофему правильной
треугольной пирамиды, если её
высота равна 9 см и высота
основания 9 см. Найдите площадь
боковой поверхности.
2. Боковое ребро правильной
четырёхугольной пирамиды образует
угол в 60˚ с плоскостью основания.
Найдите S, если боковое ребро равно
12 см.
3. (доп.) В треугольной пирамиде стороны основания
13 см, 14 см, 15 см; все боковые рёбра
составляют с основанием углы, равные α.
Найдите высоту пирамиды.
Усечённая
пирамида
Определение
Усечённая пирамида – это
часть пирамиды, заключённая
между её основанием и
плоскостью, параллельной
основанию.
Апофема – высота боковой
грани (у правильной пирамиды).
Диагональное сечение –
сечение плоскостью,
проходящей через два
несоседних боковых ребра.
Высота пирамиды – расстояние
между её основаниями.
Обозначение
Чертёж
S
A1
A
ABCA1B1C1 усечённая
пирамида;
B1
C1
h
В
С
ΔАВС и
ΔA1B1C1 –
основания;
АA1, ВВ1, … –
боковые рёбра;
АА1В1В, … боковые грани.
Свойства усечённой пирамиды:
- основания усечённой пирамиды –подобные
многоугольники;
- боковые грани – трапеции;
- в усечённой пирамиде площадь сечения,
параллельного основаниям, есть квадратная
функция расстояния от сечения до одного из
оснований.
Ответьте на вопросы:
1. Сколько вершин, рёбер, граней имеет п-угольная
усечённая пирамида, если: п = 3; 4; 5?
2. Существует ли усечённая пирамида, все рёбра
которой равны?
3. Сколько диагоналей у четырёхугольной усечённой
пирамиды?
4. В тетраэдре через середины трёх рёбер проведено
сечение плоскостью. Что можно сказать о
расстоянии от вершин тетраэдра до плоскости
сечения?
B1
2
C1
O1
A1
?
D1
В
7
С
10
O
А
D
A1
1
B1
C1
А
2
?
В
4
С
B1
3
A1
D1
В
А
C1
2
С
?
5
D
B1
2
C1
K1
В
? A1
60˚
С
K
6
А
B1
Sd -?
A1
C1
D1
В
А
2
4
С
8
D
Домашнее задание
1. Вопросы 31, 32.
2. Задачи 53 – 55.