Презентация «Решение треугольников».

Решение
треугольников
Стороны и углы треугольника
B
В любом треугольнике
напротив большей
стороны лежит больший
угол.
Сумма углов
треугольника 180 0
sin(180-a) = sin a
cos(180-a) = - cos a
A

a
c


b
C
Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника
равен сумме квадратов двух
других сторон без удвоенного
произведения их на косинус
угла между ними.
B

a
c



a  b  c  2bc cos 
2
2
2
b  a  c  2ac cos 
2
2
2
c  a  b  2ab cos 
2
2
2
A


b
C
Теорема синусов
B
Стороны треугольника
пропорциональны синусам
противолежащих углов.

a
c
a
b
c


sin  sin  sin 
AB
BC
AC


sin C sin A sin B
A


b
C
По трем сторонам

Найти угол один угол по теореме косинусов
b 2  a 2  c 2  2ac cos  
2ac cos   a 2  c 2  b 2 


a2  c2  b2
cos  
2ac
B
По таблице Брадиса найти β
Взять другую сторону (a), по теореме косинусов:
a 2  b 2  c 2  2bc cos  
b c a
cos  
2bc
2


2
c
a
2
По таблице Брадиса найти α
A
γ=180 – α – β (сумма углов треугольника)
b
C
По двум сторонам и углу между ними

По теореме косинусов найти
третью сторону
B
a 2  b 2  c 2  2bc cos  
a  b 2  c 2  2bc cos 

c
По теореме косинусов найти
один из углов(β)
b 2  a 2  c 2  2ac cos  
2ac cos   a 2  c 2  b 2 
A

C
b
a2  c2  b2
cos  
2ac
 По таблице Брадиса найти угол

γ=180 – α – β (сумма углов треугольника)
По двум сторонам и углу
лежащему напротив одной из них

По теореме синусов найти угол
противолежащий другой стороне
a
b


sin  sin 



B
b sin 
sin  
a
По таблице Брадиса найти β
(возможно 2 варианта - острый и
тупой угол, если конечно α не
тупой)
a
A

C
γ=180 – α – β (сумма углов треугольника) b
По теореме косинусов
найти третью сторону
(с)
c 2  a 2  b 2  2ab cos 
c  a 2  b 2  2ab cos 

По стороне и прилежащим к ней
углам


γ=180 – α – β (сумма
углов треугольника)

По теореме синусов найти
одну из сторон, например а
a
c


sin  sin 

B
По теореме синусов найти
третью сторону
A
a
b
a sin 
sin 

sin 

b
c
c sin 
a
sin 
sin 

C
По стороне и и углам (один угол
лежит напротив стороны)

γ=180 – α – β (сумма
углов треугольника)

По теореме синусов найти
сторону b
a
b


sin  sin 

sin 
sin 


a
a sin 
b
sin 
По теореме синусов найти
сторону с
A
a
c
a sin 

B
c
sin 

C
Пример.
A
Дано: a = 5; β = 300
γ = 450
Найти b, с, α.
2,59
C
45 0
1050
3,66
300
5
Решение:
α = 1800 – β – γ = 1800 - 300 - 450 = 1050
a
b


sin  sin 
a sin  5 sin 300
b

sin 
sin 1050
5  0,5
sin 30  0,5 ; sin 105  sin 75  0,9659 ; b 
 2,59
0,9659
a
c
a sin  5 sin 450 5  0,7071

 c


 3,66
0
sin  sin 
sin 
sin 105
0,9659
0
0
0
B