Подобные треугольники.

Подобные
треугольники.
Геометрия, 8 класс.
Урок 32. Пропорциональные отрезки.
Рассмотрим пропорцию: К
2 8

4 16
Х
Н
В
А
Отрезки называются
пропорциональными, если
равны отношения их длин.
КЕ АВ

НХ РТ
Е
Р
Решение задач:
№ 533 (устно)
№ 534.
Т
Свойство биссектрисы треугольника.
Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на
отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
В
АК СК

АВ СВ
А
К
С
Решение задач: № 536(а), 538.
Домашнее задание: п.56, № 536(б), 537.
Урок 33. Подобные треугольники.
В
А
М
С
Р
К
Два треугольника называются подобными,
если
их углы соответственно равны, и стороны одного треугольника пропорциональны соответствующим сторонам другого треугольника.
АВ ВС АС


k
МР РК МК
где k – коэффициент подобия.
Говорят, что ∆АВС ~ ∆МРК
№ 541.
А
106
E
5,2
106
4,4
С
34
15,6
В
7,6
13,2
40
F
22,8
Решение задач: № 542.
Домашнее задание: п.56-57, № 540.
D
Урок 34. Теорема об отношении площадей
подобных треугольников.
В
ТЕОРЕМА.
Отношение площадей двух подобных
треугольников равно квадрату
коэффициента подобия.
А
М
С
Р
К
S ABC
 k2
S MPK
где k – коэффициент подобия.
Отношение периметров двух
подобных
треугольников равно коэффициенту
РABC
подобия.
РMPK
k
Решение задач: № 545, 549.
Домашнее задание: п. 56-58, № 544, 548.
Урок 35. Первый признак подобия
треугольников.
ТЕОРЕМА.
В
Если 2 угла одного треугольника равны
соответственно двум углам другого треугольника,
то такие треугольники подобны.
Доказательство: Так как углы А=А1 и С=С1, то угол
В=В1.
А
А1
С
В1
С1
Так как угол одного треугольника равен углу
другого треугольника, то площади этих
треугольников относятся как произведения
сторон, заключающих эти углы.
S ABC
S A1 B1C1

AB  AC
;
A1 B1  A1C1
S ABC
S A1 B1C1

BC  AC
;
B1C1  A1C1
AB
BC

;
A1 B1
B1C1
S ABC
AB  BC

;
S A1 B1C 1
A1 B1  B1C1
AB
BC
AC


A1 B1
B1C1
A1C1
Следовательно, ∆АВС ~ ∆А1В1С1
№ 550.
а
x
8
а
12
6
y
10
20
8
Домашнее задание: п. 59, № 553, 561.
Урок 36. Первый признак подобия треугольников.
№ 551(а)
B
C
7
4
10
A
?
E
8
D
?
F
№ 552(а)
A
B
4
10
D
O
25
C
№ 557(в).
D
B
12
A
C
E
Домашнее задание: стр.160, вопросы 15,
Урок 37. Второй признак подобия
треугольников.
В1 Самостоятельная работа: стр.120, вариант А1,А2, №1.
С1
А
1
В
А
С
1
2
В2
ТЕОРЕМА. Если 2 стороны одного
треугольника пропорциональны двум
сторонам другого треугольника и углы,
заключенные между этими сторонами равны,
то такие треугольники подобны.
Доказательство:
Достаточно доказать, что углы С = С1.
Рассмотрим ∆АВ2С, у которого углы 1=А1, 2=С1.
∆А1В1С1 ~∆АВ2С по 2 углам, следовательно
АС
АВ2
АС
АВ

; но

А1С1 А1 В1
А1С1 А1 В1
Значит АВ2 = АВ и ∆АВ2С = ∆АВС по 2 сторонам
и углу между ними => угол С=2, но угол 2=С1 =>
угол С1 = С => ∆А1В1С1 ~∆АВС по 2 углам
Задача 1.
O
6
9
B
A
12
15
5
D
?
C
Задача 2.
D
?
1 часть
5
Домашнее
задание:
C
O
п. 59, 60, № 559.
15
3 части
A
?
B
В
Задача.
Р
К
А
М
С
Стороны треугольника АВС в 2,5 раза больше сторон
треугольника КРМ, углы В = Р, АС + КМ = 4,2. Найти
АС и КМ.
Урок 38. Третий признак подобия треугольников.
ТЕОРЕМА. Если 3 стороны одного
треугольника пропорциональны трем
сторонам другого треугольника, то такие
треугольники подобны.
Доказательство:
Достаточно доказать, что углы А = А1.
Рассмотрим ∆АВ2С, у которого углы 1=А1, 2=С1.
∆А1В1С1 ~∆АВ2С по 2 углам, следовательно
В1
С1
А
1
В
А
С
1
2
АВ2 В2С
СА


А1 В1 В1С1 С1 А1
Но мы знаем, что
АВ
ВС
СА


А1 В1 В1С1 С1 А1
В2
Значит АВ2 = АВ, СВ2=СВ и ∆АВ2С = ∆АВС по 2
сторонам и углу между ними => угол А=1, но
угол
1=А1 => угол С1 = С => ∆А1В1С1 ~∆АВС по 2
признаку
Задачи.
1.
2.
Подобны ли ∆АВС и ∆КРМ, если АВ = 1м, АС = 2м, ВС = 1,5 м,
КР = 8 дм, КМ = 16 дм, РМ = 12 дм.
Стороны треугольника равны 0,8 м, 1,6 м, 2 м. Найти стороны
подобного ему треугольника, периметр которого равен 5,5 м.
Домашнее задание: п. 59-61, № 560.
Математический диктант.
1.
2.
3.
4.
5.
Третий признак подобия
треугольников.
Второй признак подобия
треугольников.
У двух треугольников по одному
равному углу. Какого условия
недостает, чтобы треугольники
были подобны по 1 признаку?
Стороны одного треугольника
равны 3 см, 6 см и 7 см, а 2
стороны подобного ему
треугольника равны 15 см и 35
см. Найти третью сторону.
Соответствующие катеты двух
подобных треугольников 6 дм и
18 дм. Найти гипотенузу
меньшего треугольника, если
гипотенуза большего 27 дм.
1.
2.
3.
4.
5.
Первый признак подобия
треугольников.
Третий признак подобия
треугольников.
У двух треугольников по одному
равному углу. Какого условия
недостает, чтобы треугольники
были подобны по 2 признаку?
Соответствующие катеты двух
подобных треугольников 5 дм и
10 дм. Найти гипотенузу
большего треугольника, если
гипотенуза меньшего 7 дм.
Стороны одного треугольника
равны 15 см, 35 см и 30 см, а 2
стороны подобного ему
треугольника равны 6 см и 7 см.
Найти третью сторону.
Ответы.
1.
2.
3.
4.
5.
По 3 пропорциональным сторонам.
По 2 пропорциональным сторонам и углу
между ними.
Пара равных углов.
30 см.
9 дм.
1. По 2 равным углам.
2. По 3
пропорциональным
сторонам.
3. Пропорциональност
ь сторон угла.
4. 14 дм.
5. 3 м.
Подобие прямоугольных треугольников.
•
1.
2.
3.
Два прямоугольных треугольника подобны,
если:
У них есть по равному острому углу.
Катеты одного треугольника
пропорциональны катетам другого
треугольника.
Гипотенуза и катет одного треугольника
пропорциональны гипотенузе и катету
другого треугольника.
Задача.
B
C
15
18
12
O
10
D
A
Доказать, что ABCD – трапеция.
№ 554.
M
Домашнее
задание:
п. 59-61,
Стр. 160,
вопросы 1-7,
задача
A
B
C
5
3,6
3,9
8
D
Задача. Продолжение боковых сторон АВ и CD трапеции
ABCD пересекаются в точке Е. Найти стороны ∆АЕD,
если АВ = 5 см, ВС = 10 см, АD = 15 см, СD = 8 см.
Урок 39. Средняя линия треугольника.
В
К
А
Р
С
ТЕОРЕМА.
Средняя линия треугольника
параллельна одной из его сторон и
равна половине этой стороны.
Доказательство:
∆АВС ~ ∆КВР, так как угол В-общий, а
стороны АВ и КВ, СВ и РВ
пропорциональны => угол А=ВКР, но это
соответственные углы => КР ll АС.
Средней линией
треугольника называется
КВ КВ 1 ВР 1
КР 1
1

 ;
 
  КР  АС
отрезок, соединяющий
АВ 2 КВ 2 ВС 2
АС 2
2
середины двух его
сторон.
ТЕОРЕМА. Медианы
треугольника
пересекаются в одной
точке, которая делит
каждую медиану в
отношении 2:1, считая от
вершины.
Решение задач.
№ 564.
№ 570.
В
8
M
5
7
С
18
O
А
Домашнее задание: п. 62, № 566.
D
Математический диктант.
1.
2.
3.
4.
Две стороны треугольника
соединили отрезком,
непараллельным третьей
стороне. Является ли этот отрезок
средней линией треугольника?
Сторона АВ ∆АВС равна 6 см.
Чему равна средняя линия
треугольника, параллельная этой
стороне?
Точки М, Р и О – середины сторон
∆АВС. Найти стороны ∆АВС,
если стороны ∆МРО равны 3 см,
4 см и 5 см.
Концы отрезка АВ лежат на двух
сторонах треугольника, а длина
этого отрезка равна половине
третьей стороны. Обязательно ли
этот отрезок является средней
линией треугольника?
1.
2.
3.
4.
Точки А и В являются
серединами двух сторон
треугольника. Как называется
отрезок АВ?
Средней линией ∆АВС,
параллельная стороне ВС, равна
4 см. Найти сторону ВС.
Точки А, В, С – середины сторон
∆МРО. Найти периметр ∆АВС,
если отрезки МР, РО и МО
равны 3 дм, 4 дм и 5 дм.
Концы отрезка КР лежат на двух
сторонах треугольника, он
параллелен третьей стороне
треугольника и равен ее
половине. Является ли КР
средней линией?
Ответы.
1.
2.
3.
4.
Нет
Средняя линия
24 см
Нет
1.
2.
3.
4.
Средняя линия
8 см
6 дм
Нет
Задачи.
1. Дано:
2. Дано:
РАВС= 12 см
AD=2BC, MB=MK,
Найти: РМРО
NC=NK, BC=6 см
В
Р
Найти PQ
B
C
6
P
Q
M
N
D
A
О
3. Дано:
А
С
М
АС=10см, BD=8см
Найти РMNPK
M
B
N
C
A
K
P
D
Урок 40. Пропорциональные отрезки в
прямоугольном треугольнике.
С
b
h
a
с
А
bc
Н ac В
Высота прямоугольного
треугольника, проведенная
из вершины прямого угла,
делит треугольник на 2
подобных прямоугольных
треугольника, каждый из
которых подобен данному
треугольнику.
• Признак подобия прямоугольных
треугольников. Два прямоугольных
треугольника подобны, если у них есть
по равному острому углу.
• Отрезок XY называется средним
пропорциональным (средним
геометрическим) для отрезков АВ и CD,
если XY  AB  CН
• Свойство 1. Высота прямоугольного
треугольника, проведенная из вершины
прямого угла, есть среднее
пропорциональное между проекциями
катетов на гипотенузу.
•
СН  АН  ВН
Свойство 2. Катет прямоугольного
треугольника есть среднее
пропорциональное между гипотенузой и
проекцией этого катета на гипотенузу.
АС  АВ  АН ;
ВС  АВ  ВН
• Решение задач: № 572, 575, 577.
• Домашнее задание:
стр.160, вопросы 8-11, принести циркуль,
№ 576, 578-в общую тетрадь.
• Проверочная работа.
стр. 124, вариант А1, А2,
задачи 1, 2.
Урок 42. Синус, косинус и тангенс
острого угла прямоугольного треугольника.
В
• Синусом острого угла прямоугольного
β
α
А
С
BC
sin  
AB
cos  
AC
AB
BC
tg 
AC
треугольника называется отношение
противолежащего катета к гипотенузе.
• Косинусом острого угла прямоугольного
треугольника называется отношение
прилежащего катета к гипотенузе.
• Тангенсом острого угла прямоугольного
треугольника называется отношение
противолежащего катета к прилежащему.
• Тангенс угла равен отношению синуса к
косинусу этого угла.
BC
sin A
BC
 AB 
 tgA
AC
cos A
AC
AB
Основное тригонометрическое
тождество.
sin 2   cos 2   ?
BC 2 AC 2 BC 2  AC 2 AB 2



1
2
2
2
2
AB
AB
AB
AB
sin 2   cos 2   1
Решение задач: № 591(а,б), 592(а,в,д), 593(а,в).
Домашнее задание: п.66, № 593(б,г), 592(б,г,е), 591(в,г).
Урок 43. Значения синуса, косинуса и
тангенса для углов 30°, 45°, 60°.
BC 
В
60°
30°
А
С
1
AB,
2
cos A  cos 30 
tg 30 
sin 30

cos 30
cos B  cos 60 
sin 60 
1 1
4
sin 60
tg 60 

cos 60
1
AB
1
2
 ;
AB
2
3
3
1 1 

;
4
4
2
1
2  1 ;
3
3
2
1 AB
BC
1
 2
 ;
AB
AB
2
3
3


;
4
2
BC
sin A  sin 30 

AB
3
2 
1
2
3;
Урок 43. Значения синуса, косинуса и
тангенса для углов 30°, 45°, 60°.
А
Пусть АС = ВС = а, тогда
45°
АВ  а 2  а 2  2а 2  а 2 ;
а
С
а
В
BC
a
1
2
sin 45 



;
AB a 2
2
2
AC
a
1
2
cos 45 



;
AB a 2
2
2
sin 45
tg 45 
 1.
cos 45
Решение задач.
1.
2.
3.
4.
Найти площадь равнобедренного прямоугольного
треугольника с основанием 10 см и углом при основании
45°.
Найти катеты прямоугольного треугольника, гипотенуза
которого 2 см, один из острых углов 30°.
В треугольнике АВС угол А=45°, угол С=60°, ВС=2 см.
Найти АС.
№ 600.
Домашнее задание: п. 66, 67, № 602.
Контрольная работа № 4.
1.
2.
3.
Средняя линия равнобедренного треугольника,
параллельная боковой
стороне, равна 13 см, а
медиана, проведенная к
основанию - 24 см. Найти
среднюю линию, параллельную основанию
треугольника.
Найти sin α и tg α, если
cosα=8/17.
Найти синус, косинус
тангенс большего острого
угла прямоугольного
треугольника с катетами 7
см и 24 см.
1.
2.
3.
Средняя линия равнобедренного треугольника,
параллельная основанию,
равна 16 см, а биссектриса, проведенная к
основанию - 30 см.
Найти среднюю линию,
парал-лельную боковой
стороне треугольника.
Найти cos α и tg α, если
sinα=5/12.
Найти синус, косинус
тангенс меньшего острого
угла прямоугольного
треугольника с катетом
40 см и гипотенузой 41
см.